『格子点上の凸n角形』解答


◆茨城県 こんにちは さんからの解答。

この問題をm次元に拡張して、以下の問題を考えます。

m次元空間にn個の点X1,X2,…,Xnとその点からなる立体があります。

●条件

X1,X2,…,Xnは格子点であり、
かつどのように2点XiとXjをとっても、線分XiXj上の格子点は存在しない。

この条件を満たすnの最大値を求めよ。

解答

n=2mである。

n>2mとはなりえないこと。

m次元の格子点A=(a1,a2,…,am)を任意にとる。

a1が偶数か奇数かで2通り
a2が偶数か奇数かで2通り

amが偶数か奇数かで2通り
よって、m次元格子点Aは2で割った余りで2m通りに分類される。

よって 1≦i≦mなる任意のiに対して
bi≡ci (mod 2)となるような二点…※
Xs=(b1,b2,…,bm)、 Xt=(c1,c2,…,cm)
が必ず存在する。…※

このときこのXsとXtの中点
( b1+c1
2
,b2+c2
2
,…,bm+cm
2
)は格子点である。

※より、1≦i≦mなる任意のiに対して、
bi+ci≡2*ci≡0 (mod 2)

よって、1≦i≦mなる任意のiに対して、
bi+ci
2
は整数である。

よって問題の条件を満たさない。

●n=2mとなること

格子点を以下のように取る。
(s1,s2,…,sm)
s1,…smは0あるいは1

こう言うやり方で2m個の点を取れます。

この2m個の格子点が問題の条件を満たすのは明らかである。
(0と1のあいだに整数はないから)

問題の場合は、m=2の特別な場合である。
よって求める最大値は4である。


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