◆茨城県 こんにちは さんからの解答。
この問題をm次元に拡張して、以下の問題を考えます。
m次元空間にn個の点X1,X2,…,Xnとその点からなる立体があります。
●条件
X1,X2,…,Xnは格子点であり、 |
解答
n=2mである。
n>2mとはなりえないこと。
m次元の格子点A=(a1,a2,…,am)を任意にとる。
a1が偶数か奇数かで2通り
a2が偶数か奇数かで2通り
…
amが偶数か奇数かで2通り
よって、m次元格子点Aは2で割った余りで2m通りに分類される。
よって
1≦i≦mなる任意のiに対して
bi≡ci (mod 2)となるような二点…※
Xs=(b1,b2,…,bm)、
Xt=(c1,c2,…,cm)
が必ず存在する。…※
このときこのXsとXtの中点
( | b1+c1 2 |
, | b2+c2 2 |
,…, | bm+cm 2 |
)は格子点である。 |
bi+ci 2 |
は整数である。 |