◆新潟県 加藤 英晴 さんからの解答。
【問題１】の凸多角形をより一般に円として答えます。
ｘ−ｙ平面で中心が原点の単位円で考えます。
その円を３本の無限直線で，交わりも隙間もない５領域に分割するためには，
３本の無限直線が少なくとも２つの交点をもち,そのうちの１つは円周上に,もう１つは円の内部に,残りの交点があればそれは円周上か円の外部にあり,かつ円周上の交点を通り円の内部にある交点は通らない無限直線は円の接線に
ならなければ十分です。
３本の無限直線をｌ1，ｌ2，ｌ3とします。
必ず周上にある１つの交点をｌ1とｌ2でできたものとし，
それを（１，０）と決めても一般性は失いません。
ｌ1：ｙ＝ａｘ−ａ（ａ＜０），
ｌ2：ｙ＝ｂｘ−ｂ（ｂ＞０），
ｌ3：ｙ＝ｃｘ＋ｄとします。
交点は円の内部に１つしかないことを考慮すると，
ｌ3は，円周の上部とｌ1とで囲まれる領域 と 円周の下部とｌ2とで囲まれる領域 との両方の内部を通ることが
できません。
もし通れたら，円が６領域に分割されてしまいます。
そこで今ｌ3は，（円周の下部とｌ2とで囲まれる領域）の方を通らないとします。
すると必然的にその領域の面積はπ／５にならなければなりません。
そのようにするｂが存在することは明らかです。
具体的には
| ｓｉｎ（ | π １０ |
−ｂ＋ | ｂ（ｂ2＋１） ｂ2＋１ |
）＝ｂ2− | １ ｂ2＋１ |
後は，円から（円周の下部とｌ2とで囲まれる領域）を引いた
| ４π ５ |
の面積の領域を，ｃ≧ｂの条件で， |
◆出題者のコメント。
発掘して頂いて大変ありがとうございます。
いくつかコメントがあります。
（１） をより一般に円として
正凸多角形の極限として円は存在しており、特殊な場合として円があります。
（２） これは凸図形の偶数等分の問題より可能です。
４分割可能と言っているだけです。
下図のようにＬ１と交わらないことを証明する必要があります。