◆東京都 T.Kobayashi さんからの解答。
【問題１】
| 3 10 | . |
【問題２】
THH.
【問題３】
HHH: 14回; HHT: 8回
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
一度〔ＴＴ〕となった後は、必ず〔ＴＴＨ〕が〔ＨＨＨ〕より先に実現します。
すると、求める確率は、〔ＴＴ〕となる前に〔ＨＨＨ〕となる確率です。
〔Ｔ〕となってから、〔ＨＨＨ〕が〔ＴＴＨ〕より先に実現する確率を、Ｐ(Ｔ)とすると、
| Ｐ(Ｔ) ＝ | Ｐ(Ｔ) ４ |
＋ | Ｐ(Ｔ) ８ |
＋ | １ ８ |
| ∴ Ｐ(Ｔ) ＝ | １ ５ |
| 求める確率 ＝ | Ｐ(Ｔ) ２ |
＋ | Ｐ(Ｔ) ４ |
＋ | Ｐ(Ｔ) ８ |
＋ | １ ８ |
＝ | ７・Ｐ(Ｔ)＋１ ８ |
| よって、求める確率 ＝ | ３ １０ |
。 |
〔ＴＨＨ〕は、一度〔Ｔ〕となった後は、必ず〔ＨＨＨ〕より先に実現します。
| それ故、〔ＴＨＨ〕のときは、最初から〔ＨＨＨ〕となる確率であるため、 | １ ８ |
です。 |
| 〔ＴＨＨ〕以外は、どれも | １ ８ |
にはなりません。 |
【問題３】
Ｅ(？)を〔？〕となる期待値とします。
〔ＨＨＨ〕の期待値
コイン投げＥ(ＨＨ)回で〔ＨＨ〕となりますが、
次のコインがＨなら、{Ｅ(ＨＨ) ＋１}回で〔ＨＨＨ〕となり、
次のコインがＴなら、{Ｅ(ＨＨ) ＋１＋Ｅ(ＨＨＨ)}回で〔ＨＨＨ〕となります。
| ∴ Ｅ(ＨＨＨ) ＝ | Ｅ(ＨＨ) ＋１ ２ |
＋ | Ｅ(ＨＨ) ＋１＋Ｅ(ＨＨＨ) ２ |
Ｅ(Ｈ)＝２ より、
Ｅ(ＨＨＨ)＝２１＋２２＋２３＝１４
【答え】〔ＨＨＨ〕の期待値 ＝１４回
〔ＨＨＴ〕の期待値
コイン投げＥ(ＨＨ)回で〔ＨＨ〕となりますが、
次のコインがＨなら、{Ｅ(ＨＨ) ＋１＋Ｅ(Ｔ)}回で〔ＨＨＴ〕となり、
次のコインがＴなら、{Ｅ(ＨＨ) ＋１}回で〔ＨＨＴ〕となります。
| ∴ Ｅ(ＨＨＴ) ＝ | Ｅ(ＨＨ) ＋１＋Ｅ(Ｔ) ２ |
＋ | Ｅ(ＨＨ) ＋１ ２ |
＝ | Ｅ(ＨＨ) ＋１ | ＋ | Ｅ(Ｔ) ２ |
Ｅ(ＨＨＴ)＝２１＋２２＋１＋１＝８
【答え】〔ＨＨＴ〕の期待値 ＝８回
◆出題者のコメント。
T.Kobayashiさん、Footmarkさん、素早い解答ありがとうございます。
このコイン投げについていろいろと考えてみたことがありました。
HHH から TTT までどれも出る確率は 1/8 というところで止まらずに、ちょっとだけ突っ込んで考えてみると面
白いと思ったのですがどうでしょうか？
３種類での対戦 （例えば HHH 対 HTT 対 THT でそれぞれが１位になる確率）を考えるのもなかなか面白いで
す。
問題３の期待値についてはhttp://beetama.com/prob/probtop.html の『コインで遊ぶ』でも少し扱っていま
す。
よろしければご覧下さい。