◆北海道の高校生 ファージ さんからの解答。
ＢＡＳＩＣで簡単なプログラムを組んで1〜10000まで調べてみました。
window 1 for n= 1 to 10000 a&=n^3+(n+1)^3 b!=sqr(a&) c=b! if b!=c then PRINT n next n do until mouse(_down) endあれ、ｎ=1 の時しか成立しない。
◆埼玉県 100ファット さんからの解答。
ファージさんと同様にBASICでプログラムを製作して算出してみました。
10 FOR n=1 TO 10000000 20 LET a=n^3+(n+1)^3 30 LET b=SQR(a) 40 IF INT(b)=b THEN 50 PRINT n 60 END IF 70 NEXT n 80 END1000万桁まで計算したところ、下記のn数でもこの方程式は成立することがわかりました。
1 930867 983611 1028011 1244610 1361548 1434128 1608240 1965595 ・・・・・（以下略）全ての解はこちらです。
●青木コメント
誤差があるので、確信がないのですが、どなたか確認していただけませんか。
残念ながら、n＝930867については、
n3＋(n＋1)3＝(2n＋1)(n2＋n＋1)＝1861734・866514302557となり、
1861734＝2・3・7・19・2333，
866514302557＝103・2089・4027171なので、
n3＋(n＋1)3は平方数にならないと教えていただきました。
他の数についても見通しは暗そうですね。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
100ファットさんの解答は見たところ、１０進ＢＡＳＩＣを15桁(JIS)モードで使われています。
このため、100000004は２９桁となり、桁あふれして正確な計算ができていません。
１０００桁モードで実行すれば少なくともこの範囲では「１と２」以外は解がないはずです。
ただし、現状のプログラムでは特にルートの計算に多大な時間を要し、最後まで到達するには相当の時間を必要とするでしょう。
【高速プログラムで探査】
下記のプログラムで Ｎとして１を除き 1.75×1031を超える辺りまで存在しないことを確認しました。
なお、１０進ＢＡＳＩＣの２進モードで実行します。
Ｍ8をもっと大きくして計算するには１０進モードにする必要があります。
LET RR3=1/SQR(SQR(3.0))
LET M8=2^26
FOR ST=1 TO 5 STEP 4
FOR P1=ST TO M8 STEP 6
LET P2=1+INT(RR3*P1)
IF MOD(P2,2)=1 THEN
LET T2=MOD(P2*P2,M8)
LET T2=MOD(T2*T2,M8)
LET T1=MOD(P1*P1,M8)
LET T1=MOD(T1*T1,M8)
LET TT=MOD(T2*3-T1-2,M8)
IF TT=0 THEN
PRINT "Pass M8";M8
LET T2=MOD(P2*P2,M8-1)
LET T2=MOD(T2*T2,M8-1)
LET T1=MOD(P1*P1,M8-1)
LET T1=MOD(T1*T1,M8-1)
LET TT=MOD(T2*3-T1-2,M8-1)
IF TT=0 THEN
LET N=(3*((P1*P2)^2)-1)/2
PRINT "Find N=";N,"AT P1,P2=";P1;P2
END IF
END IF
END IF
NEXT P1
PRINT "END for Start=";ST
LET P1=P1-6
LET N=(3*((P1*P2)^2)-1)/2
PRINT "Checked TO N=";N,"AT P1,P2=";P1;P2
NEXT ST
END【プログラムの根拠】
始めの整数をｎ≧２として考えます。
また、４は平方数なので
４(ｎ3＋(ｎ＋１)3)＝(２ｎ＋１)((２ｎ＋１)2＋３)が平方数であるかを吟味します。
ｎ≧２において
(２ｎ＋２)2＞((２ｎ＋１)2＋３)＞(２ｎ＋１)2なので
((２ｎ＋１)2＋３)は平方数ではありません。
従って、(２ｎ＋１)と((２ｎ＋１)2＋３)は何らかの公約数をもつ必要があります。
互助法によりGCD(２ｎ＋１、(２ｎ＋１)2＋３)＝３です。
従って、２ｎ＋１と(２ｎ＋１)2＋３は３の倍数(３を因数に持たない)に限られます。
そこで、２ｎ＋１＝３ｍ ｍ：奇数＞１ とおけば
(２ｎ＋１)2＋３＝３(３ｍ2＋１)です。
次にGCD(ｍ、３ｍ2＋１)＝１なので、ｍと３ｍ2＋１はそれぞれ平方数でなければなりません。
そこでさらに、 ｍ＝ｐ2 ｐ：奇数＞１とおきます。
このとき ３ｐ4＋１＝ｑ2でなければなりません。
ｐは３以上の奇数なので、ｑ：偶数≧１６ です。
３ｐ4＝(ｑ−１)(ｑ＋１) と変形されますから、ｑ±１の何れかは３の倍数であり、
ｑ＝６Ｋ±２です。ここで Ｋ：整数。
ｑ＝６Ｋ＋２のとき ｑ−１とｑ＋１は ６ｋ＋１と３(２Ｋ＋１)であり、
GCD(6K+1,2K+1)=1なので、６Ｋ＋１と２Ｋ＋１はそれぞれ４乗数でなければなりません。
ｑ＝６Ｋ−２の場合も同様に６Ｋ−１と２Ｋ−１が４乗数でなければなりませんが、
４乗数が６Ｋ−１になることはありません。
よって、 ｐ14＝６Ｋ＋１ ，ｐ24＝２Ｋ＋１ であるような Ｋが存在しなければなりません。
ここで、ｐ14＝６Ｋ＋１となるように、
ｐ1＝６ｇ＋１ないし６ｇ＋５とおきます。
一方、ｐ2≒ｐ1×(３)-0.25です。
つまりｐ2、ｐ1が存在するなら
ｐ2＝[ｐ1×(３)-0.25]＋１
であって ( [ ]はガウス記号 )
３ｐ24−ｐ14−２＝０
を満足します。
また少なくとも 任意の整数Ｍ8に対して
３ｐ24−ｐ14−２≡０ mod Ｍ8
です。
プログラムでは Ｍ8として ２26の後、２26−１を用いて２段階検査しています。
この２段階をＰａｓｓした場合はさらにＭｏｄなしの検査を1000桁モード等で実施する必要があります。
以上をクリアするものがある場合、ｎは下記で計算されます。
| ｎ＝ | ３ｐ22ｐ12−１ ２ |
なお、ｐ2＝[ｐ1×(３)-0.25]＋１を計算するとき、(３)-0.25の値が２進モードでは桁落ちしていますが、これは問題ありません。
なぜならｐ2≒ｐ1×(３)-0.25であるのでそのような場合は決して成立しないからです。
逆に、１０進モードを用いる場合は、ｐ1の最大桁＋３桁ぐらいで明確に切り捨てるようプログラム(下記)する必要があります。
RR3=INT(RR3*M8*1000)/M8/1000
◆東京都 昔とった杵柄 さんからのコメント。
全然解けていないのですが、変な問題にぶつかってしまったので、報告します。
問題を解こうと思いまして、次の 3つが、分かりました。
(1) まず、
x3+(x+1)3 = (2x+1)*(x2+x+1) と因数分解できます。
(2) 次に、x＞1 では、
x2 ＜ x2+x+1 ＜ (x+1)2 が成り立つので、
x が整数なら、x2+x+1 は平方数にはなりません。
(3) また、2x+1 と x2+x+1 の最大公約数は、ユークリッドの互除法を使って、
x=1 mod (3) の時 3、x=0,2 mod (3) の時 1 となりました。
従って、もし、x＞1 で平方数になるとしたら、
| x=1 mod (3) で、 | 2x+1 3 | が、平方数であり、 |
| かつ、 | x2+x+1 3 | も平方数である場合に限られます。 |
| そこで、パソコンで | x2+x+1 3 | が平方数になる場合を調べたところ、 |
よく考えると、これが分かっても、元の問題には遠いのですが、
| x2+x+1 3 | が平方数になるのは、どんな場合なのでしょう？ |
X= 1 22 313 4366 60817 847078
◆広島県 清川 育男 さんからのコメント。
Y.M.Ojisan さんの推論に従えば、2000桁程度まで存在しません。
十進ＢＡＳＩＣの１０００桁モードで実行します。
REM y=(p2)^2,x=(p1)^2
REM 3*y^2-x^2=2
REM y=A(n) ,x=B(n)
DIM A(1749)
DIM B(1749)
LET A(1)=1
LET A(2)=3
LET B(1)=1
LET B(2)=5
FOR N=3 TO 1749
LET A(N)=4*A(N-1)-A(N-2)
LET B(N)=4*B(N-1)-B(N-2)
LET Y=A(N)
LET Y1=SQR(Y)
LET Y2=INT(Y1)
LET X=B(N)
LET X1=SQR(X)
LET X2=INT(X1)
IF Y1=Y2 AND X1=X2 THEN
PRINT "Y=";Y
PRINT "X=";X
END IF
NEXT N
LET YY$=STR$(A(1749))
LET XX$=STR$(B(1749))
PRINT LEN(YY$)
PRINT LEN(XX$)
PRINT LEN(YY$)+LEN(XX$);"桁”
END
3*(P2)4-P14=2
| (P2)2= | (3+sqrt(3))2*k-1+(3-sqrt(3))2*k-1 6k |
| (P1)2= | (1+sqrt(3))*(2+sqrt(3))k-1+(1-sqrt(3))*(2-sqrt(3))k-1 2 |
◆東京都 昔とった杵柄 さんからのコメント。
依然として、元の問題は、解けていないのですが、conejoさんの、もうひとつの問題と、Y.M.Ojisanさんの解答を見て、前回、報告した問題は、解決できましたので、証明します。
＜補題＞
| X2+X+1 3 |
が平方数になるのは、 |
X(0)=-2、X(1)=1
X(n)=14X(n-1)-X(n-2)+6
で定義される、数列｛X(n)｝。
＜証明＞
まず、
| X2+X+1 3 |
= Y2 を満たす、整数(X,Y)の解は、 |
| X+ | 1 2 |
=x と置く事により、 |
ここで、次の変換を考えました。
f(x,y) = (7x-12y, -4x+7y)
このｆは、 双曲線x2/3-y2 = -1/4 上の、 (半整数,整数)の点を、同じ双曲線の(半整数,整数) の点に移します。
∵
(7x-12y)2/3 - (-4x+7y)2= x2/3 - y2 だから。
ところで、0≦x＜6, y≧0 の範囲では、
| 双曲線上の(半整数,整数)の解は、( | 3 2 |
,1)しかありません。 |
| ∵ x= | 1 2 | , | 3 2 | , | 5 2 | , | 7 2 | , | 9 2 | , | 11 2 |
を調べました。 |
もし、x≧6,y≧0 の範囲に、(半整数,整数)の解が有ったとします。
その点を(s,t) とすると、f(s,t) = ( 7s-12t, -4s+7t ) の作用によって、
x≧0,y≧0 の範囲で、x座標が 1/13s 以下の点に移ります。
∵
x座標に付いては、
7s-12t = 7s - 12(s2/3+1/4)0.5＜ (7-4√3)s < 1/13 s
また、s≧6 なので、49s2≧48s2+36 であり、
従って、7s-12(s2/3+1/4)0.5 ≧0 と言えます。
y座標に付いては、
-4s+7t = -4s+7(s2/3+1/4)0.5 > (-4+7/√3)s > 0 です。
この事から、fを繰り返し、作用させていくと、
必ず、0≦x＜6 y≧0 の範囲の(半整数,整数)に降りて来ます。
従って、x≧0,y≧0 の範囲にある、双曲線上の(半整数,整数)の点は、
| f | -n | ( | 3 2 |
,1) と、書き表せます。 |
なお、逆関数は、f-1(x,y) = (7x+12y,4x+7y) です。
| 最後に、(x | n | ,y | n | )=f | n | (- | 3 2 |
,1)と、置きます。 |
ｆ-1を行列 Aで表示すると次のようになりますが、7 12
4 7
ケーリー・ハミルトンの公式より、
A2 = 14A - I (単位行列) が成り立ちます。
従って、｛(xn,yn)}は、
| (x | 0 | ,y | 0 | )=(- | 3 2 |
,1)、(x | 1 | ,y | 1 | )=( | 3 2 |
,1) であって、 |
| X=x- | 1 2 |
と置き換えると、 |
| X2+X+1 3 |
が平方数になるのは、 |
X(0)=-2, X(1)=1
X(n) =14 X(n-1)-X(n-2)+6 を満たす数列となります。
証明終わり。
解いていて、双曲線と、行列と、漸化式が、綺麗な関係で結ばれているような感じがしました。
もしかすると、より大きな理論の一部なのでしょうか？
ちなみに、元の問題は、この結果を使うと、x=0以外では、
| Z(n)= | 2X(n)+1 3 |
が平方数になる時、 |
つまり、Z(0)=-1、Z(1)=1、Z(n)=14 Z(n-1)-Z(n-2)
の数列で、Z(n) が平方数になる時の、X(n) と言う事が出来ます。
でも、この先は、解けませんでした。
いわゆるフィボナッチ数列の場合、平方数は 144、1個だけ、と聞いた事がありますが、
Z(n)にも、もしかしたら、1 以外に、ひとつぐらい、平方数があるのかなぁ、と思ったりもしています。