◆千葉県の高校生 Playcity さんからの解答。
まだ全部はできていませんが、Ａ・Ｂ・Ｅ・Ｆは不可能です。
・Ａについて
Ａの駒が左上隅のマスに行くためには、そのすぐ右のマスから来るしかない。
また、左上隅にいるときは、そのすぐ右のマスへしか動けない。
これでは、左上隅を通る直前と直後にそのすぐ右のマスを通らざるを得ず、巡回閉路は不可。
・Ｂについて
Ｂの駒が一番下の列のマスに行くには、そのすぐ上のマスから来るしかなく、
また、逆に下から２番目の列にいるときは、下に動くしかない。
（行けなくなってしまうから）
なので、１番下のあるマスにいるとき、その真上は直前に通ったはずだから、次は右上（左上）しか進めないが、どちらに行っても、下から２番目の列に
来てしまうため、また下に行かざるを得ない。
（既に下を通った場合は、既にその上のマスも通ったはず）
さらに次はその右上（左上）しかいけず、再び下へ行くしかない・・・・・
これを繰り返すと、いずれは右下隅（左下隅）で詰まるしかなく、巡回閉路は不可。
・ＥとＦについて□■□■□■□
■□■□■□■
□■□■□■□
■□■□■□■
□■□■□■□
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□■□■□■□
７×７のマスを上のように色分けする。
すると、Ｅの駒は、移動の際、白→黒、もしくは黒→白という動きはできず、今いるマスの色と異なる色のマスには行けない。
よって巡回閉路は不可。
また、Ｆの駒は、今度は白→黒、もしくは黒→白という動きしか出来ない。
よって、白のマスは１個多いから、
白→黒→白→黒→白→・・・・・・・・→黒→白と４９個のマスを１週すると、起点と終点の色は一致してしまう。
これでは、起点と終点を一手でつなぐことはできず、巡回閉路は不可。
Ｃ，Ｄ，Ｇについては分かりませんが、不可能なのでしょうか・・・・
◆出題者のコメント。
Playcityさん、解答ありがとうございます。
どの証明も実に鮮やかだと思います。
おっしゃる通り、Ａ,Ｂ,Ｅ,Ｆのいずれの駒にも巡回閉路は存在しません。
Ｂの証明の（行けなくなってしまうから）は、（このとき行っておかないと、永遠に行けなくなってしまうから）
にすれば、もっと分かり易かったですね。
正月でもあるので、以下は出血大サービス(ヒント)です。
残りはＣ,Ｄ,Ｇの駒ですが、Playcityさんの予想通り、やはり巡回閉路は存在しません。
すると、進めないマスが連続して３つ並ぶ駒は明らかに巡回閉路は存在しませんから、ある周囲４マスにだけ進める駒の内で７×７のマス目に巡回閉路が存在する駒は、
面白いことにＨ(『亀の運動 Part2』の亀)のような駒だけだったことになります。
Ａ,Ｂ,Ｅ,Ｆの駒のときのような、鮮やかな証明を期待しています。
◆千葉県の高校生 Playcity さんからの解答。
Ｃは判明しました。
まず、便宜上マスに以下のように符号をつける。７６５４３２１
□□□□□□□一
□□□□□□□二
□□□□□□□三
□□□□□■□四
□□□□□□□五
□□□□□□□六
□□□□□□□七
これ以降はマスを縦の算用数字と横の漢数字で示します。
例として、■のマスは「２四」と示します。
・Ｃについて
Ｃの駒が１七に行くには、１六から来るしかない。
この次は、２六へ行かざるを得ない。
ところで、２六に来たとき、次に２七以外へ行ってしまうと、２七に来ることは二度とできない。
（１六は既に通った）
よって、２六へ来たときは、真下の２七へ行かざるを得ない。
すると、今度は３六へ行くしかなく、すると再び３七に対しても同様の理論が成り立ち、真下へ行くしかない。
これを繰り返すと、やはり７七で詰まってしまい、巡回閉路は不可。
◆千葉県の高校生 Playcity さんからの解答。
まず始めに、以下のことについて示しておく。
「左上か右下への利きを『Ａ』、左下か右上への利きを『Ｂ』とすると、ＡとＢの両方を持たないものは、自分が既に通った道により２つの領域に
分断された場合、通ったマスを踏まずに一方の領域からもう一方の領域に行くことは出来ない（＝横切れない）」
・・・・・「分断の定理」とでもしておく
縦や横の動きのみで区切られた道は、絶対に横切れないので、自分が既に通ったマスを横切るとしたら、斜めに通ったところを斜めに交差するしかない。
交差するときは、当然Ａの利きとＢの利きを両方持つことが必要である。
片方の利きのみでは、平行に動くしかなく、横切れないのである。
これで分断の定理は証明された。
・Ｄについて
Ｄの駒は、６二→７一、１七→２六、２一→１一→１ニ、７六→７七→６七の動きは必須となる。
ところで、２六にいるとき、次に必ず６二か２一か７六のいずれかに行くはずである。
（１）６二に行くとき
当然７七と１一は通らないから、Ｃが通った駒により、７七を含む領域、１一を含む領域に分断されるはずである。
この後、必ず７一にいるから、いずれかの領域に進まざるを得ない。
このとき、先程の分断の定理により、一方へ行くと、もう一方の領域には行けず、巡回閉路は不可。
（２）７六に行くとき
やはりまだ７七と１一には行ってないはずなので、（１）と同様に７七を含む領域、１一を含む領域に分断されるはずである。
するとやはり、（１）と同様に分断の定理が適用され、巡回閉路は不可。
（３）２一に行くとき
（２）と同様に不可。
（１）〜（３）より、巡回閉路は不可。
今回は非常にあいまいで、証明も厳密ではない（特に分断の定理など・・・）かも知れません・・・・・・
◆出題者のコメント。
Playcityさん、解答ありがとうございます。
駒Ｃの証明も、駒Ｂと同様に実に鮮やかだと思います。
駒Ｄの証明ですが、「分断の定理」とはうまい命名ですね。
Playcityさんの解答は、確かに証明になっていますが、この便利な定理を利用すると、もっと簡明な証明ができます。
◆千葉県の高校生 Playcity さんからの解答。
・Ｇについて７６５４３２１
□■■■■■■一
□□□□□□■二
□□□□□□■三
□□□□□□■四
□□□□□□■五
□□□□□□■六
★□□□□□□七
今、Ｄの駒が７七にいるとすると、７七と１一へは行かずに
先に黒いマス（上図）に行かなくてはいけない。
（７一へは６一からしか行けず、１七に２七から来ると行き場がなくなる）
するとやはり、Ｃと同様に、７一を含む領域と１七を含む領域に分かれるため、分断の定理により、巡回閉路は不可。
もっと簡単な証明とはどのようなものなのでしょうか？
◆出題者のコメント。
Playcityさん、解答ありがとうございます。
駒Ｇの証明も他に負けないくらい実に鮮やかだと思います。
結局、Playcityさん１人で、すべての駒を解いてしまったことになりますね。
恐れ入りました。m(_ _)m
駒Ｄの証明ですが、Playcityさんが発見された便利な「分断の定理」を利用させていただくと次のようになります。
右上隅のマスは、左から入って下に出るしかない。
それ故、巡回閉路が存在するならば、その一部に必ず(２一)→(１一)→(１二)の経路がある筈である。
左下隅のマスは、上から入って右に出るしかない。
それ故、巡回閉路が存在するならば、その一部に必ず(７六)→(７七)→(６七)の経路がある筈である。
このことより、
このとき、【 (１二)から(７六)まで 】と【 (６七)から(２一)まで 】の２つの経路は、明らかに交差しなければならない。
ところが、駒Ｄの動き方では「分断の定理」より明らかに交差することは不可能である。
よって、駒Ｄには巡回閉路は存在しない。