◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
Pv=P{勝負が一度でつくイベント}
Ps=P{みんな同じものを出すイベント}
Pd=P{グー、パー、チョキ、三つとも同時に出されるイベント}
Pv＝１-Ps-Pd
【問題１】
| Ps=3C1* | ( | 1 3 | ) | 3= | 1 9 |
| Pd= | 3! 1!1!1! | * | ( | 1 3 | ) | 3= | 2 9 |
| Pv＝ | １- | 1 9 | - | 2 9 | ＝ | 2 3 |
【問題２】
| Ps=3C1 | * | ( | 1 3 | ) | 4= | 1 27 |
| Pd= | 4! 2!1!1! | * | 3! 2!1! | * | ( | 1 3 | ) | 4= | 4 9 |
| Pv＝ | １- | 1 27 | - | 12 27 | ＝ | 14 27 |
【問題３】
| Ps=3C1 | * | ( | 1 3 | ) | 5= | 1 81 |
| Pd= | { | 5! 3!1!1! | * | 3! 2!1! | + | 5! 2!2!1! | * | 3! 2!1! | }* | ( | 1 3 | ) | 5= | 50 81 |
| Pv＝ | １- | 1 81 | - | 50 81 | ＝ | 30 81 |
【問題４】
| Ps=3C1 | * | ( | 1 3 | ) | 6= | 1 243 |
| Pd= | { | 6! 4!1!1! | * | 3! 2!1! | + | 6! 2!2!2! | * | 3! 3! |
+ | 6! 3!2!1! |
* | 3! 1!1!1! |
}* | ( | 1 3 | ) | 6= | 20 27 |
| Pv＝ | １- | 1 243 | - | 180 243 | ＝ | 62 243 |
nの場合、
| Ps=3C1 | * | ( | 1 3 | ) | n= | 1 3n-1 |
| Pd= | Σ i,j,k≧1,i+j+k=n |
n! i!j!k! |
( | 1 3 | ) | n | = | J(n,3) 3n |
J(n,3)＝3n-3*2n+3
(参考：『同順を許す並び方の数は？』問題の解答)
Pv
=１-Ps-Pd
| =1- | 1 3n-1 |
- | 3n-3*2n+3 3n |
| = | 2n-2 3n-1 |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【Ｎの場合】
(1)
１番目の人に対して２〜Ｎ番目の人の状態は「勝ち、負け、引分け」の３状態であるので
全部で ３N-1とおり。
(2)
勝負が決まるには２〜Ｎ番目の人の状態は「勝ち、引分け」または「負け、引分け」の対称な２タイプがある。
各タイプにおいて２〜Ｎ番目の人の状態は各２状態あるが、全員引分けを除外する必要がある。
即ち各タイプ 2N-1-1とおりある。
| よって 答えは | ２N-2 ３N-1 |
【感想】
アンパンマンさんの解答はちょっと高級でした。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【Ｎ人の場合】
Ｎ人の手の出し方すべては、各人が３通りなので３N通り。
一方、勝負がつくＮ人の手の出し方は次のとおりです。
（１） ［グー］と［チョキ］だけだが両方ともある。
（２） ［チョキ］と［パー］だけだが両方ともある。
（３） ［パー］と［グー］だけだが両方ともある。
この内の１つの場合を考えてみます。
各人の手の出し方は２通りなので、Ｎ人では２N通りです。
ところが全員とも左側の手や右側の手にすると勝負がつきません。
これは２通りあるので勝負がつくのは(２Nー２)通りになります。
結局、勝負がつくすべての場合の数は ３(２Nー２) 通りです。
ですから、
| 求める確率 ＝ | ３(２N-2) ３N | ＝ | ２N-2 ３N-1 |
| 【答え】 | ２N-2 ３N-1 |