・ｒ◆東京都 かえる さんからの解答。
【問題１】
円の半径をｒとする。
Ｏ’Ｃ＝√（１2＋２2）・ｒ＝・ｒ
ＰＣ＝Ｏ’Ｃ−Ｏ’Ｐ＝（−１）ｒ
| ＰＲ＝ | １ | ・ＰＣ＝（１− | １ | ）ｒ |
| ＱＣ＝ | ２ | ・ＢＣ＝ | ４ | ｒ |
| ＰＱ＝ＱＣ−ＰＣ＝（１− | １ | ）ｒ |
よりＰＱ＝ＰＲ
【証明了】
【問題２−１】
| △ＰＱＢ＝△Ｏ’ＣＢ・ | ＰＱ Ｏ’Ｃ | ＝１０2・（１− | １ | ）／＝２０−２０（ｃｍ2）・・・【答】 |
【問題２−２】
| ＱＳ＝ＱＣ−ＣＳ＝（ | ４ | − | ２ | ）ｒ＝ | ３ １０ | ｒ |
| △ＱＳＯ＝△Ｏ’ＣＯ・ | ＱＳ Ｏ’Ｃ | ＝ | １０2 ２ | ・ | ３ １０ | ／＝１５ｃｍ2・・・【答】 |
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
便宜上、２つの等円の半径を１とすると、明らかに
Ｏ’Ｂ＝１ , ＣＢ＝２ ,
ＣＯ’＝ , ＣＰ＝−１ 。 …(１)
また、△ＣＰＲと△ＣＢＱと△ＣＯ’Ｂは２角が等しいため相似 。
この３つの三角形の斜辺はそれぞれ ＣＰ , ＣＢ , ＣＯ’ゆえ、(１)より、
△ＣＰＲと△ＣＢＱと△ＣＯ’Ｂの相似比＝−１：２： 。 …(２)
【問題１】
| (１)と(２)より、ＣＱ＝ | ２ | ＣＢ＝ | ４ | …(３) |
(１)より、ＣＰ＝−１ 。
| ∴ ＰＱ＝ＣＱ−ＣＰ＝ | ５− ５ | …(４) |
(１)と(２)より、
| ＰＲ＝ | −１ |
Ｏ’Ｂ＝ | ５− ５ |
よって、ＰＱ＝ＰＲ 。
【問題２】
２つの等円の半径が１０ｃｍなら、明らかに
△ＣＯ’Ｂの面積＝１００ｃｍ 2,
△ＣＳＯの面積＝２５ｃｍ2 。 …(５)
【１】
(１)と(４)より、
| ＰＱ ＣＯ’ | ＝ | ５− ５ |
/＝ |
−１ ５ | 。 |
これと(５)より、
| △ＰＱＢの面積＝(△ＣＯ’Ｂの面積)× | ＰＱ ＣＯ’ |
| ＝(１００ｃｍ2)× |
−１ ５ |
| ＝２０(−１)ｃｍ 2。 |
【２】
| ＣＳ＝ | ＣＯ’ ２ | ゆえ、(１)と(３)より、 |
| ＱＳ ＣＳ | ＝ | ＣＱ−ＣＳ ＣＳ |
| ＝( | ４ |
− | ２ |
)/ | ２ |
| ＝ | ３ ５ | 。 |
これと(５)より、
| △ＱＳＯの面積＝(△ＣＳＯの面積)× | ＱＳ ＣＳ |
| ＝(２５ｃｍ2)× | ３ ５ |
| ＝１５ｃｍ2 。 |
◆岩手県 utu さんからの解答。
【問題１】
ＰＲの延長とＯ'Ａとの交点をＴと置く。
すると、△Ｏ'ＰＴは直角三角形であり、直角の対辺Ｏ'Ｐは円の半径である。
∠ＣＱＢは直径に対する円周角なので直角。
したがって、△ＢＯ'Ｑは直角三角形であり、直角の対辺ＢＯ'は円の半径である。
すなわち、△Ｏ'ＰＴと△ＢＯ'Ｑは合同である。
したがって、ＢＱ＝Ｏ'Ｔ
また、当然、ＢＲ＝Ｏ'Ｔ
したがって、ＢＱ＝ＢＲ
△ＢＰＱと△ＢＰＲは、ともに直角三角形であり、直角の対辺ＢＰを共有し、さらに他の１辺の長さが等しい。
したがって、 △ＢＰＱ≡△ＢＰＲなので、ＰＱ＝ＰＲである。
◆出題者のコメント。
高校受験時代に見つけたとある入試問題を改題したものですが、「こんな解き方もあったのか」とただ
感心するばかりです。
分かっている人も多いかと思われますが、座標平面をつかうと簡単に解けます。
（だから初等幾何による解法を募集しました）
高校生以上の方は是非ためしてみてください。
◆愛知県 Κ２ さんからの解答。
Ｒの定め方を工夫すれば、４点Ｏ，Ｏ’，Ａ，Ｂが正方形の頂点にあることも、２円の半径が等しいことも必要でないことが判りました。
【問題】
２点Ａ，Ｂで交わる２つの円の中心をＯ、Ｏ’とする。
円Ｏの直径ＢＣの点Ｃから点Ｏ’に直線を引き、円Ｏ’、円Ｏとの交点を順にＰ、Ｑとする。
点Ｐから、Ｂにおける円Ｏ’の接線に引いた垂線の足をＲとするとき、ＰＲ＝ＰＱ であることを証明しなさい。
【証明】
ＢＱの延長と円Ｏ’との交点をＤと置く。
すると、△Ｏ'ＢＤは Ｏ'Ｂ＝Ｏ'Ｄ である二等辺三角形であり、∠ＣＱＢは直径に対する円周角なので直角。
すなわち、Ｏ'Ｑは二等辺三角形の底辺への垂線であるから、辺ＢＤの垂直二等分線である。
したがって、点Ｐはこの線上にあるから、△ＰＢＤもまた二等辺三角形となる。
∴∠ＰＤＢ＝∠ＰＢＤ
また、ＢＲは円Ｏ'の接線であり、接線と弦ＰＢのなす角∠ＰＢＲはＰＢに対する円周角∠ＰＤＢに等しい。
即ち ∠ＰＢＲ＝∠ＰＤＢ
∴∠ＰＢＲ＝∠ＰＢＤ
△ＰＢＲと△ＰＢＱは、ともに直角三角形であり、直角の対辺ＢＰを共有し、さらに他の１角の長さが等しい。
したがって、 △ＢＰＱ≡△ＢＰＲ
∴ＰＱ＝ＰＲ
（ＱＥＤ）
元の問題で、∠Ｏ’ＢＣが直角であることから、ＢＣが円Ｏ’の接線であるので、この問題に含まれることが判ります。
そして、上述の証明が修正なく適用できます。