◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題１】
円C : x2 + y2 = c2
点A ：（a,0)
題意の円の中心：(b cos θ, b sinθ）とする。
c2 + b2 = (b cos θ - a)2 + (b sinθ )2 から
| 直線x =b cos θ= | a2 - c2 2a |
つまり、軌跡は円Cと点Aを結ぶ直線に垂直。
第一項の長さは長さaの線分の二等分で、第二項の長さは長さｃの線分のc/２a倍でともに容易に作図で求められる。
【問題２】
円A : x2 + y2 = a2
円B : (x-p)2 + y2 = b2
題意の円の中心：(c cos θ, c sinθ）とする。
c2 + a2 = (c cos θ - p)2 + (c sinθ )2 + b2 から
| 軌跡は直線 x = c cosθ = | p2 + b2 - a2 2p |
【問題３】
（２）問題２の設定を使う。
円A : x2 + y2 = a2
円B : (x-p)2 + y2 = b2
題意の円の中心：(c cos θ, c sinθ）
| 軌跡は直線 x = α = | p2 + b2 - a2 2p |
題意の円の方程式は
（x - α）2 + (y - β）2 = α2 + β2 + a2 .
| これから β = | x(x-2α) + y2 - a2 2y | と解くと |
任意の点を通る円が存在する。
βの長さは容易に作図で求められる。
（１）（２）でｂ＝０とする。
（３）（２）の設定を使う
円の方程式 （x - α）2 + (y - β）2 = α2 + β2 + a2
が第３の円 中心 （c cosθ, c sinθ）、半径r の直径の両端を通るとすると
| β = | x(x-2α) + y2 - a2 2y | から |
| β = | (c cosθ + r cosφ)(c cosθ + r cosφ-2α) + (c sinθ + r sinφ)2 - a2 2(c sinθ + r sinφ) |
| = | (c cosθ - r cosφ)(c cosθ - r cosφ-2α) + (c sinθ - r sinφ)2 - a2 2(c sinθ - r sinφ) |
これを解くと
| cotξ = | (c2 + r2 - a2) cotθ - 2αc cosecθ c2 + a2 - r2 |
これから作図で容易にφが求められ、βも得られる。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【補題】
２円の直径を通る円の作図方法
下図参照。
（１）２円の中心をＯ1、Ｏ2とし、半径を線分Ｏ1Ｏ2に直交する方向にＲ1、Ｒ2とします。
Ｏ1Ｒ1=r1，Ｏ2Ｒ2=r2
（２）線分Ｒ1Ｒ2の垂直２等分線ｍと線分Ｏ1Ｏ2の交点をＭとします。
従って、Ｒ1Ｍ＝Ｒ2Ｍ＝ｐ
（３）Ｍをとおり、線分Ｏ1Ｏ2に垂直な直線ｖ上に点Ｘをとります。
ＸＭ＝ｈ
（４）ＸＯ1に直交する方向に円Ｏ1の直径を、ＸＯ2に直交する方向に円Ｏ2の直径をとります。
このときＸを中心とし両円の直径端[Ｄ1 Ｄ2でそれぞれ代表]を通る円を描くことがでます。
∵
XＤk2
＝XOk2+rk2
＝XM2 +MOk2+rk2
＝ｐ2-rk2+ｈ2+rk2
＝ｐ2+ｈ2 for ｋ＝１,２
【問題１】
軌跡は直線。
作図は補題の方法においてr2=0とすればよい。
【問題２】
補題による。
【問題３】
３個の円から選んだ（２個の円の組）の２組を用いて直線ｖを２本作図し交点を求める。
円の中心は１直線上にないので、Ｏ1Ｏ2に垂直なｖは必ず交差する。
その点が問題を満たすことは明らかである。
すなわち（３）が証明された。
（１）（２）は（３）の方法において半径が０である場合である。
◆出題者のコメント。
素早い回答ありがとうございます。正解です。
簡単すぎたでしょうか。
今読み返してみると、『作図する方法を〜』とかいてある時点で、直線か円しかないことがばればれでしたね。
直径の両端という、不確定な要素を含みながらも、軌跡が直線になるというところが面白くて記憶に残っていた問題で
した。