『円周の分割』解答


◆東京都 由釜与祢弥 さんからの解答。

この円周を、とある点(ここでは●とする)で切断し、1本の棒と考えると、

●…●○…○●…●○…○●………○●…●

ここで、右端と左端の●は同じ物である。

これより、●→○と移り変わるところがk箇所あれば、○→●もk箇所。
したがって、両端の点の色が異なる弧の個数は2k、すなわち偶数である。


◆愛知県 juin さんからの解答。

証明

m=1,n=1の場合、両端の色が異なる区間は2つだから成り立つ。

次に、青と赤のあいだに1つ点を加えた場合、両端の色が異なる区間の数は変化しない。
青と青の間に赤い点を加えた場合、両端の色が異なる区間は2つ増える。
赤と赤の間に青い点を加えた場合、両端の色が異なる区間は2つ増える。

よって、両端の色が異なる区間の数は常に偶数である。

証明終わり。


◆山梨県 Footmark さんからの解答。

隣同士で同色の連続した2個以上の点を1個の点に置き換えても、隣同士で異色の点を結んだ弧の数は変わらない。
(このことは2色に限らず何色であっても同様である。)

そこで、この置き換えをしたものとすると、赤点と青点は円周上に交互に並ぶため同数となる。
それ故、赤点と青点の合計個数は偶数(≧2)。

また、円周上の2個以上の点は、円周を点の個数と同数の弧に分割する。
赤点と青点は交互にあるので、分割でできたいずれの弧も両端の点は異色である。

よって、隣同士で異色の点を結んだ弧の数は偶数である。


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