◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
図のように、３つの円が、１点で交わるときのθの値以上の値をθがとれば、条件を満たす。
３つの円が１点で交わっているときを考える。
ＰＢ＝ＰＣ＝ＰＤ
ＱＡ＝ＱＣ＝ＱＤ
ＲＡ＝ＲＢ＝ＲＤ
より、３つの三角形ＡＱＲ、ＢＲＰ、ＣＰＱをそれぞれ、ＱＲ、ＲＰ、ＰＱ（図の破線）で折り返すと、３点Ａ、Ｂ、Ｃは１点Ｄに重なる。
つまり、
∠ＱＡＲ＋∠ＲＢＰ＋∠ＰＣＱ＝３６０°
となる。
今、図のように、
| φ＝９０°− | θ ２ |
とおくと、上式は、 |
∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＡ＋∠ＣＡＢ＝１８０°
（△ＡＢＣの内角）
より、φ＝３０°
このとき、 θ＝１２０°
答え θ≧１２０°
【問題２】
図のように、S(1) と S(3) の点Ｂ以外の交点が辺ＡＣ上か三角形の外部にあることが必要である。
（他の２組の円についても同様）
いま、S(1) と S(3) の点Ｂ以外の交点Ｄが、辺ＡＣ上にある状態を考える。
ＲＢ＝ＲＤ
ＰＢ＝ＰＤ
より、△ＢＲＰをＲＰで折り返すと、点Ｂは点Ｄに重なる。
また、△ＲＡＤは二等辺三角形なので、ＡＤの垂直二等分線で折り曲げると、点Ａは点Ｄに重なる。
同様に点Ｃは点Ｄに重なる。
よって、
∠ＤＡＲ＋∠ＲＢＰ＋∠ＰＣＤ＝１８０°
となる。１と同様に
| φ＝９０°− | θ ２ |
とおくと、上式は、 |
∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＡ＋∠ＣＡＢ＝１８０°
（△ＡＢＣの内角）
より、 φ＝０°
つまり、 θ＝１８０°のときに、条件を満たす。
答え θ＝１８０°