◆岡山県 BWV542 さんからの解答。
単位円周上の任意の n 個の点について、それらまでのn個の距離の積が 2 以上となるような点が円周上に存在することを示す。
《証明》
複素平面で考える。
単位円周上の n 個の点を z[1], z[2], ……, z[n]という複素数で表す。
そして、多項式
P(w)＝(w−z[1])(w−z[2])……(w−z[n]) を考える。
今から、|P(w)|≧2 かつ |w|＝1 となるような複素数 w が存在することを示す。
|z[k]|＝1 (k＝1,2,……,n)により、
z[1]*z[2]* ……*z[n]＝(−1)n
となるように座標を設定しても一般性を失わない。
よって、
P(w)＝wn ＋a[n-1]*wn−1＋ a[n−2]*wn−2＋ …… ＋ a[1]*w ＋1
という形に展開できる。
いま、1 の相異なる n 乗根を w[1], w[2], ……, w[n] とする。
k＝1,2,……,n−1 において、
w[1]k ＋ w[2]k＋ …… ＋ w[n]k
＝w[1]k＋ (w[1]k)2＋ (w[1]k)3＋ …… ＋ (w[1]k)n
＝(w[1]k)*((w[1]k)n −1)/(w[1]k−1)
＝ 0
となるので、 P(w[1]) ＋ P(w[2]) ＋ ……＋ P(w[n]) ＝ 2n.
両辺の絶対値をとり、三角不等式を用いると、
|P(w[1])| ＋ |P(w[2])| ＋ …… ＋|P(w[n])| ≧ 2n.
従って、|P(w[1])|, |P(w[2])|, ……, |P(w[n])| のうち、ひとつは 2 以上である。
以上より、|P(w)|≧2 かつ |w|＝1 となるような複素数 w が存在することが示せた。
(証明終)