『高校生からの挑戦状Part48』

『高校生からの挑戦状Part48』解答

◆宮城県　甘泉法師さんからの解答。

平面座標ＸＹを考え、
正ｎ角形Ａ₀Ａ₁……Ａ_n-1の中心を原点に、
頂点Ａ₀をＸ軸上に、
頂点Ａ₀、Ａ₁、……、Ａ_n-1を反時計回りに配置する。

線分Ａ_αＡ_βの傾きの角度は　 π
２＋ π(α＋β)
ｎ　で、
０以上π未満の区間に直すと異なる値はｎ通り。

線分に平行な組がない、すなわち同じ角度はとらないと仮定する。

線分の本数と角度のとりうる場合の数はともにｎ個なのですべての角度が１度ずつ現われる。
線分の角度の総和は (ｎ－１)πでπの奇数倍となるが、これは線分による図形が閉じることに矛盾する。

よって背理法により命題は証明された。