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◆東京都 かえる さんからの解答。
【問題１】
＜解１＞
ＢからＡＣに垂線を下ろせば（その足をＨとする）、２つの三角定規になる。
| ＣＨ＝ | １ ２ | ＢＣ |
| ＡＨ＝ＢＨ＝ | ２ | ＢＣ |
| １ ２ | ＢＣ | ＋ | ２ | ＢＣ＝１ |
−１・・・【答】
＜解２＞
正弦定理を使う。
ｓｉｎ７５゜はｓｉｎ（４５゜＋３０゜）の加法定理より求める。
【問題２】
両辺ｃｏｓ2θで割る。
ｔ＝ｔａｎθとして、
１＋ｔ2−４ｔ＝１−ｔ2⇔ ｔ＝０，２
より、ｔａｎθ＝０・・・【答】
【問題３】
倍角の公式を２回使う。
| １６０（ | １−ｃｏｓ２θ ２ | ）（ | ｓｉｎ２θ ２ | ）−８０（ | ｓｉｎ２θ ２ | ）＋１８（ | ｓｉｎ２θ ２ | ）2 |
| ＝−４０ｓｉｎ２θｃｏｓ２θ＋ | ９ ２ | （ｓｉｎ２θ） | 2 |
| ＝−４０（ | ｓｉｎ４θ ２ | ）＋ | ９ ２ | （ | １−ｃｏｓ４θ ２ | ） |
| ＝ | ９ ４ | −２０ｓｉｎ４θ− | ９ ４ | ｃｏｓ４θ |
| ＝ | ９ ４ | − | √６４８１ ４ | ｓｉｎ（４θ＋α） |
| 最大値： | ９ ４ | ＋ | √６４８１ ４ | ・・・【答】 |
| 最小値： | ９ ４ | − | √６４８１ ４ | ・・・【答】 |
【問題４】
１とＡから√Ａを作図する方法は以下の通りであり、これを方法＊と呼ぶ。
直径１＋Ａの半円を描く。
直径上の端点から１の点で垂線を立てたときに、
垂線と半円との交点と垂線の足の距離は√Ａ。
方法＊を用いて、１ｃｍと３４ｃｍから√３４ｃｍを描く。
次に（６＋√３４）ｃｍを描く。
方法＊を用いて、１ｃｍと（６＋√３４）ｃｍから√（６＋√３４）ｃｍを描く。
◆出題者のコメント。
問題１は正解です。
しかし、問題には書いていませんが中学生の習った範囲で２通りの解き方があります。
もちろん、加法定理を用いてくれても良いのですが、そちらの解答も探してみてください。
問題２は途中でt=0,2と出してくれているのにtanθ=0となっているのは何故でしょうか。
tanθは全ての実数を動くのでtanθ=2も成り立つはずです。
問題３は正解です。
この問題は僕の設定ミスで答えが変な値になってしまいました。
ほんとは18sin2θcos2θではなくて36sin2θcos2θだったんですよ。
問題４のこの作図方法だと直線の本数で言うと最初の半円を書く時に一本、垂線を立てる時に一本、２個目の円に垂線を立てる時に一本となりますね。
僕の考えていたよりいい方法ですね。
しかし、この方法だと作図に用いる紙は横35p、縦35/2pは必要になりますね。
僕の考えていた方法では直線は４本必要なのですが用いる紙は縦横5p四方で作図できます。
ぜひ、そちらの方法も探してみてください。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題４ その１】
紙の大きさのほうにこだわって見ました。
１．５ｃｍ×４ｃｍほどあればＯＫです。
直線の数え方が違うかも知れませんが、一応３本です。
（１）下図のように分度器、定規で直交線（青、赤）を描き、ものさしで横線の上に０．５ｃｍ、１ｃｍの点、 縦線の上に１ｃｍ、２ｃｍの点をとります。
（２）下図のように０．５ｃｍと２ｃｍの点を結ぶ直線を定規で引きます。
| この点間の距離は |  ２ | ｃｍです。 |
（３）コンパスを用いて縦横１ｃｍの点間の距離（
）をとり、（２）の直線上で２ｃｍの点の向こうに距離ｃｍの点をとります。
（４）コンパスを用いて０．５ｃｍの点を中心とし、（３）で描いた点を通る円を描き、縦線との交点を求めます。
（５）（４）で得た交点と原点の距離が求める値です。
| つまり （ | ２ | ＋ | | ) | 2 | −( | １ ２ | ) | 2 | ＝６＋ です。 |
◆出題者のコメント。
Y.M.Ojisan さんへ。
僕の考えていたよりよい解答ですね。
直線の数え方は正しいです。
ちなみに、かえるさんの作図の直線の数え方を僕が間違えていました。
最初の35pの直線、最初の円から引いた垂線、２つめの円から引いた垂線はいいのですが、
２つめの円を描くために中心を定める必要があります。
その中心を定めるためには二等分線を使う必要があるので合計４本でした。
問題の設定では1o単位の定規で作図をするということでしたが、僕の考えでは1p単位の定規でも作図可能です。
もちろん、5p四方の紙を用いてです。
そちらも考えてみてください。
問題１もよろしく。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題４ その２】
長さの最小単位は１ｃｍ、紙の大きさは５ｃｍ×５ｃｍ以下で 直線の数を最小にすることを考えました。
結果、直線は２本です。
です。
です。
をコンパスに取ります。
つまり 
です。
【コメント】
前回の方法でも、もう一本直線を使えば０．５ｃｍを作成でき１ｃｍ単位でも作成可能です。
そこで今回は、さらに直線を減らしてみました。
その分コンパスが多用され、あまりスマートではありませんが。
◆出題者のコメント。
【Y.M.Ojisan さんからの回答その2についてのコメント】
僕が考えていたよりも凄い回答です。
理解するのも難しいです。
ちなみに僕の考えていた答えと言うのは
6+√34=x,6-√34=yとおいて
√x±√y=√(x+y±2√xy)として
x+y=12,xy=2より
√x±√y=√{32+(√2±1)2}とする回答です。
これでも5cm×5cmで書ける回答です。
Y.M.Ojisan さんならこれだけでも作図できるでしょう。
ぜひやってみてください。