◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
∠ＡＤＢが∠ＡＣＢの半分になることは起き得ません。
【証明】
△ABDは∠ABDが直角の直角三角形ですから外心はADの中点Ｏです。
すると、円周角と中心角の関係より∠ＡＤＢは∠ＡＯＢの半分です。
そこで、△AOBの外接円を考えると∠ＡＯＢは弦ABが張る円周角です。
ですから、、その外接円が点Cを通れば、∠ＡＤＢが∠ＡＣＢの半分となります。
ところが、点Cも点Oも△ABDの辺の中点です。
よって、中点連結の定理より∠OCDは∠ABCに等しく直角、故に∠OCBも直角です。
また、ADとBDは三角形の２辺のため明らかに平行ではありません。
ですから、∠OABも∠AOCも直角ではありません。
∴ ∠OAB＋∠OCB≠２直角 かつ ∠ABC＋∠AOC≠２直角
よって、四角形ABCOの外接円は存在せず、
∠ＡＤＢが∠ＡＣＢの半分になることは起き得ません。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題１】
∠ADC=θとおくと題意の関係は
cotθ=2cot(2θ)となります。
cotθ＝ｘと記し右辺の三角関数を変形し、式は
| ｘ＝ | ｘ2 -1 ｘ |
x2＝x2 -1
０＝-1
よって題意の関係は満足できない。
◆東京都 由釜与祢弥 さんからの解答。
【問題１】
存在しない。
条件を満たすとき AC=BC であるが、
∠ACB=0°となり、三角形ABC はもはや三角形ではない。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題２】
∠AEC=θとおくと題意の関係は
3cot(3θ)-cotθ＝0
cotθ=ｘとおき右辺は
3cot(3θ)-cotθ
| ＝ | 3x（x2-3） 3ｘ2-1 | -x |
| ＝ | x｛3（x2-3）-(3ｘ2-1）} 3ｘ2-1 |
| ＝ | -8x 3ｘ2-1 |
| 0になるのはx=０つまりθ= | π 2 | だが、これは不適解。 |
よって題意の点Eは存在しない。（終）
【コメント】
より一般化して
| 0＜θ＜ | π 2 | , ｐ＞0において |
f(ｐ) = ｐcot(ｐθ) - cotθ をｐで微分し
f’(ｐ) = cot(ｐθ) + θ cosec2（pθ）＞0
よってｆ（ｐ）は単調増加
| f(0+)= | 1 θ | -cotθ= | tanθ-θ θtanθ |
＞0 |
なので ｆ（ｐ）＞０
よって ｆ（ｐ）≠０
◆出題者のコメント。
宮城県 甘泉法師 さんへのコメント
正解です！！
答えてくださってありがとうございます。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題２】
tan(θ)は０〜π/2の範囲で下に凸である。
従ってtan曲線上の２点（原点と３θ）を結ぶ線分はtan曲線の下にはない。
| よって、その | 1 3 | に位置する点（θ, | tan(3θ) ３ | ）は |
| つまり、tan(θ)＜ | tan(3θ) ３ | である。 |
この式は甘泉法師さんのcot(θ)＞３cot(3θ)と同じである。
よって、θ＝０を除いて解は存在しない。
倍数３が一般に１より大きい実数であっても同じであることは上図より明快である。
◆福岡県 micky さんからの解答。
【問題１】
∠CAB=a ∠ACB=2b ∠CDA=b ∠CAD=c とおくと、
a+2b=90 a+b+c=90 より、a+2b=a+b+cとなり、
2b=b+cとなる。
よって、b=c
だから、CD=CA=CB となるが、これは、直角三角形ABCに矛盾する。
（CA=CB ではない。）
◆石川県の中学校３年生 Moo さんからの解答。
【問題１】
結論；問題の条件を満たす∠ＡＣＢは存在しない。
〔証明〕
ＢＣ＝ＤＣより，直径ＢＤ，中心Ｃである円Ｐを描くことができる。
∠ＡＢＤ＝90°より点Ａは円Ｐの点Ｂにおける接線上にあり，また点Ｂと異なる。…(1)
| ∠ＡＤＢ＝ | 1 2 |
∠ＡＣＢより点Ａは円Ｐ上にある。…(2) |
しかし，(1)と(2)を同時に満たす点Ａは存在しない。
したがって，問題の条件を満たす点Ａをとることはできないので∠ＡＣＢは存在しない。
ゆえに，結論が成り立つ。
【問題２】
結論；問題の条件を満たす∠ＡＣＢは存在しない。
〔証明〕
∠ＡＣＢ＝3∠ＡＥＢ＝3θ，ＥＢ＝3ＣＢ＝3αとおくと
ＡＢ＝3αtanθ
ＡＢ＝αtan3θ
と表せる。
| ただし，0＜3θ＜ | π 2 |
より |  2 |
＜cosθ＜1である。…(1) |
よって、この2式より
3αtanθ＝αtan3θ
α＞0より，両辺αで割ってから2乗して
9tan2θ＝(tan3θ)2
| 9( | 1 cos2θ |
−1)＝ | 1 (cos3θ)2 |
−1 |
| 9( | 1 cos2θ |
−1)＝ | 1 {3cosθ−4(cosθ)3}2 |
−1 |
| 9( | 1 cos2θ |
−1)＝ | 1 9(cosθ)2−24(cosθ)4＋16(cosθ)6 |
−1 |
| 9( | 1 β |
−1)＝ | 1 9β−24β2＋16β3 |
−1 |
これを解くと
| β＝ | 5 8 |
，β＝1 |
よって、
| cosθ＝± |  4 |
，cosθ＝±1 |
しかし、いずれも(1)を満たさない。
したがって、問題の条件を満たすθは存在しない。
ゆえに、結論が成り立つ。