◆東京都 かえる さんからの解答。
【問題１】
〔Ａ〕
Ｓ（ｔ）
＝┃（ｔ2−５ｔ−３）−（−ｔ2＋３ｔ＋７）┃┃（ｔ−（−１６））−（−ｔ＋２）┃
＝４┃（ｔ−５）（ｔ＋１）（ｔ＋７）┃・・・【答】
〔Ｂ〕
┃（ｔ2−５ｔ−３）−（−ｔ2＋３ｔ＋７）┃＝┃（ｔ−（−１６））−（−ｔ＋２）┃
⇔
| ｔ＝１，２， | ５±√７３ ２ | ・・・【答】 |
〔Ｃ〕
ｆ（ｔ）＝（ｔ−５）（ｔ＋１）（ｔ＋７）とおく。
ｆ´（ｔ）＝３ｔ2＋６ｔ−３３
ｆ´（ｔ）＝０⇔ｔ＝−１±２
極小値ｆ（−１＋２）＝−４８
極大値ｆ（−１−２）＝４８
Ｓ（ｔ）＝４┃ｆ（ｔ）┃より
極小値Ｓ（−７）＝Ｓ（−１）＝Ｓ（５）＝０
極大値Ｓ（−１−２）＝Ｓ（−１＋２）＝１９２
（グラフ略）・・・【答】
【問題２】
Ｓ（ｔ）＝０
⇔
（ｔ2−５ｔ−３）−（−ｔ2＋３ｔ＋７）＝０
または
（ｔ−ａ）−（−ｔ＋２）＝０
⇔
| ｔ＝−１，５またはｔ＝ | ａ＋２ ２ |
ｔが丁度２つなので、
| ａ＋２ ２ | ＝−１，５⇔ａ＝−４，８・・・【答】 |
（１）ａ＝−４のとき
求める体積
| ＝ | 5 ∫ -1 | Ｓ（ｔ）ｄｔ |
| ＝ | 5 ∫ -1 | ４┃（ｔ−５）（ｔ＋１）2┃ｄｔ |
| ＝４３２・・・【答】 |
（２）ａ＝８のとき
求める体積
| ＝ | 5 ∫ -1 | Ｓ（ｔ）ｄｔ |
| ＝ | 5 ∫ -1 | ４┃（ｔ−５）2（ｔ＋１）┃ｄｔ |
| ＝４３２・・・【答】 |
【問題３】
図形Ｋが正方形
⇔
┃（ｔ2−５ｔ−３）−（−ｔ2＋３ｔ＋７）┃＝┃（ｔ−ａ）−（−ｔ＋２）┃
⇔
| ┃（ｔ−５）（ｔ＋１）┃＝┃ｔ− | ａ＋２ ２ | ┃ |
ｇ（ｔ）＝（ｔ−５）（ｔ＋１）として、
ｓ＝┃ｇ（ｔ）┃・・・（@）と
| ｓ＝┃ｔ− | ａ＋２ ２ | ┃・・・（A）の交点の数を調べる |
（A）が（−１，０）、（５，０）を通るのは、それぞれａ＝−４，８のとき
| ｓ＝−ｇ（ｔ）とｓ＝ｔ− | ａ＋２ ２ | が接するのは、 |
| ａ＝− | ３３ ２ | のときで、そのときの交点は、（ | ３ ２ | ， | ３５ ４ | ） |
| ｓ＝−ｇ（ｔ）とｓ＝−（ｔ− | ａ＋２ ２ | ）が接するのは、 |
| ａ＝ | ４１ ２ | のときで、そのときの交点は、（ | ５ ２ | ， | ３５ ４ | ） |
ｇ´（−１）＝−６，ｇ´（５）＝６に注意して、
| ａ＜− | ３３ ２ | のとき ２個 |
| ａ＝− | ３３ ２ | のとき ３個 |
| − | ３３ ２ | ＜ａ＜−４のとき ４個 |
| ８＜ａ＜ | ４１ ２ | のとき ４個 |
| ａ＝ | ４１ ２ | のとき ３個 |
| ４１ ２ | ＜ａのとき ２個 |