◆東京都 まつたけ さんからの解答。
【問題１】
平面上の任意の一つの領域とそれに接している領域の所が５色で塗分けられれば良い。
接している周りの領域のどれか一つを、中心に位置している領域から線を引いて２個に分ける。
するとK+1個の領域が接している状態になり、ここの部分は、中心に位置している領域の色、二つに分けた領域に塗ってあった色、その隣の領域に塗ってある色と違うように塗ればよいので
「接している周りの領域の数がK+1個の時塗分けられる」
よって接している周りの領域の数が何個でも塗り分けられる。