『高校生からの挑戦状Part15』解答

◆京都府　大空風成 さんからの解答。

三角形の1つの垂線の長さをhとして、
その垂線の足からの距離x (0＜x＜h)のところで折るとする。

折って裏返しになった三角形ともとの三角形は相似で、
相似比は、(h-x)：h

重なりが三角形の場合、
つまり、 h
2		 ≦x＜h　のとき、
S'
S		 = ( h-x
h		 ) 2
x= h
2		 のとき最大値 1
4		 …(1)

重ねてはみ出した三角形と、
折って裏返しになった三角形（面積をS1とする）は相似で、
相似比は、(h-2x)：(h-x)

重なりが台形の場合、
つまり、0＜x＜ h
2		 のとき、
S'
S		 = S1
S		 × S'
S1
　 = ( h-x
h		 ) 2 { 1- ( h-2x
h-x		 ) 2 }
　 = 1
h2		 {(h-x)2-(h-2x)2}
　 = 1
h2		 { -3 ( x- h
3		 ) 2 + h2
3		 }
x= h
3		 のとき最大値 1
3		 …(2)

(1)、(2)より

x= h
3		 のとき最大値 1
3
この最大値はhに無関係だから、
どの辺に平行に折っても最大値は同じで、
三角形の垂線の、
底辺から 1
3		 のところで折れば、
重なりの面積の最大値は、もとの三角形の面積の 1
3		 となる。

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