◆京都府 大空風成 さんからの解答。
【問題１】
a、bを入れかえても変わらない式を、a、bの対称式といい、
それは基本対称式a+b、abで表される。
よって、
f(a,b)=s(a+b)2+tab+u(a+b)+v・・・(1)
と表されるから、s、t、u、vの4つの未知数を求めるには、
(a,b)の組を最低4回入れるとよい。
【問題２】
(1)に4組代入して連立方程式を解くと、
s=1、t=-8、u=-10、v=9
f(a,b)=(a+b)2-8ab-10(a+b)+9となるから、
f(a,b)=a2-6ab+b2-10a-10b+9・・・(2)
【問題３】
(2)をaについての2次式と考えて平方完成すると、
| f(a,b)={a-(3b+5)} | 2 | -8(b+ | 5 2 |
) | 2 | -6 |
| g(a)={a-(3b+5)} | 2 | -8(b+ | 5 2 |
) | 2 | -6 とすると、y=g(a)のグラフは、 |
| 頂点(3b+5,-8(b+ | 5 2 |
) | 2 | -6) の下に凸の放物線だから、 |
| 最大値はなく、a=3b+5のとき最小値は-8(b+ | 5 2 |
) | 2 | -6 となる。 |
(別解）
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 では、b2-4ac＞0のとき双曲線になることを利用し
て、
(2)で、f(a,b)=pとおくと、
a2-6ab+b2-10a-10b+9-p=0となり、
(-6)2-4
×1×1=32＞0だから、
どんなpの値に対しても双曲線になり、その双曲線上にこれをみたす(a,b)の組がいくらでもある。
よって、pはすべての実数値をとるから、f(a,b)に最大値、最小値はない。
【問題４】
f(a,b)=s1(a+b)3+s2ab(a+b)+s3(a+b)
2+s4ab+s5(a+b)+s6
と表されるから、s1、s2、s3、s4、s5、
s6の6つの未知数を求めるには、
(a,b)の組を最低6回入れるとよい。
【問題５】
f(a,b)の2m（mは負でない整数）次の項は、
s1(a+b)2m+s2ab(a+b)2m-2+s3(ab)2
(a+b)2m-4+・・・+sm(ab)m-1(a+b)2+sm+1(ab)
m
と表されるから、s1、s2、・・・、sm+1の(m+1)個の未知数がある。
f(a,b)の(2m+1)次の項は、
s1(a+b)2m+1+s2ab(a+b)2m-1+s3(ab)2
(a+b)2m-3+・・・+sm+1(ab)m(a+b)
と表されるから、s1、s2、・・・、sm+1の(m+1)個の未知数がある。
よって、nが偶数のときのf(a,b)全体の未知数の個数を0次から順に並べてみると、
| 1、1、2、2、3、3、・・・、 | n-2 2 |
+1、 | n-2 2 |
+1、 | n 2 |
+1 |
| となるから、その合計は、 | n2 4 |
+n+1 |
| 1、1、2、2、3、3、・・・、 | n-1 2 |
+1、 | n-1 2 |
+1 |
| となるから、その合計は、 | n2 4 |
+n+ | 3 4 |
| nが偶数のとき最低( | n2 4 |
+n+1)回、 |
| nが奇数のとき最低( | n2 4 |
+n+ | 3 4 |
)回入れるとよい。 |
【問題６】
f(x1,x2,・・・,xk)
=s1
(x1+x2+・・・+xk)2+s2
(x1x2+x1x3+・・・
+x1xk+x2x3+・・・+x2xk+・・・＋
xk-1xk)+s3(x1+x2+・・・+xk)
+s4
と表されるから、s1、s2、s3、s4の4つの未知数を求めるには、
(x1,x2,・・・,xk)の組を最低4回入れるとよい。