◆東京都 哲 さんからの解答。
(注)gcd(i,j)はi,jの最大公約数を表す。
まず、与えられた命題において仮定が成立しているとき、
gcd((d+a),(c-b))＞1 または gcd((d-a),(c+b))＞1
であることを示す。
(d+a)と(c-b)が互いに素かつ(d-a)と(c+b)が互いに素のとき、
(ac+bd)=(a+c-b+d)(a+c+b-d) ...(*)
が成立していると仮定する。すなわち、
(ac+bd)={(d+a)+(c-b)}{(c+b)-(d-a)}
である。またこのとき、(*)を変形して
(ac+bd)=(d2-a2)-(c2-b2)=(d-a)(d+a)-(c+b)(c-b)
であるから、
{(d+a)+(c-b)}{(c+b)-(d-a)}=(d-a)(d+a)-(c+b)(c-b)
したがって、
(d+a){2(d-a)-(c+b)}=(c-b){2(c+b)-(d-a)} ...(1)
また
(d-a){2(d+a)+(c-b)}=(c+b){2(c-b)+(d+a)} ...(2)
が成立する。
ところで、(d+a)と(c-b)が互いに素なので、
(1)に関して整数iが存在して、
2(d-a)-(c+b)=i(c-b)
また
2(c+b)-(d-a)=i(d+a)
したがって、
(d-a)+(c+b)=i{(d+a)+(c-b)} ...(3)
が成立する。
同じく(d-a)と(c+b)が互いに素なので、
(2)に関して整数jが存在して、
2(d+a)+(c-b)=j(c+b)
また
2(c-b)+(d+a)=j(d-a)
したがって、
3{(d+a)+(c-b)}=j{(d-a)+(c+b)} ...(4)
が成立する。(3)(4)より、
ij=3 ...(5)が成立する。
ここで、(4)を変形すると、
(3-j)(c+d)=(3+j)(b-a)となり、
a,b,c,dの大小を考慮すればj=2以外にあり得ない。
# 何故ならば、(c+d)も(b-a)も正であるから(3-j)と(3+j)は同符号。
# したがって-2≦j≦2、
さらに(c+d)＞2(b-a)であるから。
これは(5)式成立と矛盾する。よって示された。
さて、
(ab+cd)=(ac+bd)+(d-a)(c-b)={(d+a)+(c-b)}{(c+b)-(d-a)}+(d-a)(c-b)
である。
(i)gcd((d+a),(c-b))=k＞1の場合、
整数p,qが存在して、(d+a)=kp
また(c-b)=kqが成立する。したがって、
(ab+cd)/k=(p+q){(c+b)-(d-a)}+(d-a)q
右辺は整数であるから、kは(ab+cd)の1より大きい約数である。
さらに、a,b,c,dの大小を考慮すれば、
k≦(d+a)＜2d＜cd＜(ab+cd)
よってkは(ab+cd)の自身より小さい約数である。
したがって(ab+cd)は素数でない。
(ii)
gcd((d-a),(c+b))=t＞1の場合、
整数r,sが存在して、(d-a)=tr
また(c+b)=tsが成立する。したがって、
(ab+cd)/t={(d+a)+(c-b)}(s-r)+r(c-b)
右辺は整数であるから、tは(ab+cd)の1より大きい約数である。
さらに、a,b,c,dの大小を考慮すれば、
(ア) (d-a)≧(c+b)のとき、
t≦(d-a)＜d＜cd＜(ab+cd)
(イ) (c+b)＞(d-a)のとき、
t≦(c+b)≦(ab+c)＜(ab+cd)
よってtは(ab+cd)の自身より小さい約数である。
したがって(ab+cd)は素数でない。
以上より、題意は示されたことになる。