『高校生からの挑戦状Part11』解答

◆宮城県　甘泉法師 さんからの解答。

【問題１】

                      点の分布確率
                      p(x)dx
　｜------------------|-|--------------------｜
　0　　　　　　　　　 x x+dx　　　           a

a ∫ 0

ｄｘ

a ∫ 0

ｄｙ　p（x）p（y）Φ（x-y）

ここで
Φ（ｔ）＝1　　　｜ｔ｜≦1
Φ（ｔ）＝0　　　｜ｔ｜＞1

あとはｐ（ｘ）が与えられればよい。

p（x）= const =

1 a

の特別の場合には

１・・・a≦１

１-　(1 -

1 a

)

2

・・・a＞１

【問題２】

ABの中点、つまり単位円の中心をO、
∠AOP＝ΘとしてΘの分布確率をｐ（Θ）とする。

△ABPの面積＝|sinΘ|

期待値は

2π ∫ 0

|sinΘ|ｐ（Θ）ｄΘ

あとはｐ（Θ）が与えられればよい。

p（Θ）= const = 1/ 2π の特別の場合には

面積の期待値は

2 π

。

◆京都府　大空風成 さんからの解答。

【問題１】

点A、Bの座標をそれぞれ0、aとして、
点P、Qの線分AB上の座標をx、yとすると、
0≦x≦a、0≦y≦a　・・・(1)
となる。

ここで、線分PQの長さは、
このxとyの組(x,y)によって決まるから、
xy平面上の(1)の範囲で確率を考える。

2点P、Qの距離が1以下になるのは、
x-1≦y≦x+1　・・・(2)

＜！ここで(1)、(2)の領域を図示して考えてください。＞

【問題２】

点Pは、単位円（原点を中心とする半径1の円）周上にあるから、
そのy座標をsinθと表す（∠BOP=θ）と、

よって、その面積の変化は、
y=sinθ　(0≦θ≦π)　・・・(1)
のグラフで表される。

その期待値、つまり平均は、
(1)のグラフとx軸の間の面積と等しい
横の長さπの長方形　・・・(2)
の縦の長さになる。

＜！ここで(1)、(2)の図をかいて考えてください。＞

コメント
問題１も問題２も図があればもっと分かりやすいのですが、・・・

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