◆東京都 由釜与祢弥 さんからの解答。
【問題１】
ボール○を55個、仕切り｜を30個用意します。
ボール55個を一列に並べ、その隙間に仕切りを入れることを考えます。
ただし、同じ隙間に2本以上の仕切りが入ってはいけないものとします。
すると、仕切りの入れる隙間は54箇所考えられます。
そのうち30箇所を選んで仕切りを入れました。
ところで、ある仕切りから26個前or後には、条件より仕切りがあってはいけません。
この仕切りが入ってはいけない隙間は、各仕切りに対して必ず1つ以上存在し、しかもこれが重複するのは2つの場合しか考えられません。
すなわち、
↓ ○｜○………○ ○………○｜○○ ○○｜○………○ ○………○｜○ ↑の2つの場合です。
したがって、隙間のうち仕切りが入ってはいけない箇所が最低でも28箇所できることになります。
すなわち、仕切りの入れる隙間は多くて26箇所です。
これは仕切りが実際には30箇所に入っていることに矛盾します。
したがって、仕切りから仕切り(もしくは端から仕切り)までのボールの個数が26個になるところが必ず存在するはずです。
問題に合う形で答えるならば、「言える。」です。
◆千葉県 なのはな子 さんからの解答。
【問題１】
例えば、毎日1冊読んだとしたら、31日で31冊です。
残りの24冊（55-31）をある１日に全部読んだとします。
1日だけが25冊（1+24）で、他の日は1冊という読み方です。
25冊読んだ日とその前後どちらかの日の２日間で26冊読んでいます。
また、1冊ずつ読んだ30日間のうちのある26日間でも26冊読んだと言えます。
24冊をどのように何日に振り分けて読んだとしても、ある何日間かで必ず26冊読んでいると言えます。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
【答え】
ある何日間かで必ず２６冊を読んでいると言えます。
（もっとも、２６冊に限らず２５冊〜３１冊も同じことが言えますが・・。）
【証明】
その日に読んだ漫画本の数をｎ日間順に並べると、ｎ個の自然数の数列になります。
ｎ個の自然数の数列の中の任意の項から連続任意項数をとってできた数列は元の数列の部分数列です。
すると、その部分数列の内に、数列の和がｎで割り切れるものが少なくとも１つは存在します。
この証明を求めた問題が『割り切れる？ Part3』ですが、理由は以下の通りです。
[０項まで]〜[ｎ項まで]のそれぞれの数列の和は、異なるｎ+１個の数になります。
ところが、このｎ+１個の数のそれぞれをｎで割ったときの余りは多くても０〜ｎ−１のｎ種類しかありません。
それ故、「鳩の巣箱の原理」よりｎ＋１個の数の内には、ｎで割ったときの余りが等しいものが少なくとも1組はある筈です。
仮にｐ項までの数列の和とｑ項までの数列の和がその1組とします。
（ただし、０≦ｐ＜ｑ≦ｎ）
すると、「２数をｎで割ったときの余りが等しい」と「２数の差がｎで割り切れる」は同値ですから、 ｐ項までの数列の和とｑ項までの数列の和の２つの差つまりｐ＋1項〜ｑ項の和はｎで割り切れることになります。
以上より、ｎ個の自然数の数列の部分数列には、数列の和がｎで割り切れるものが少なくとも１つは存在します。
ところで当然のことですが、ｎ個の自然数の数列は項数１〜項数ｎの部分数列をすべて含んでいます。
含まれている各部分数列においてもこのことは成立する筈ですから、最終的に次のことが言えます。
ｎ個の自然数の数列の部分数列には、数列の和が[１で割り切れるもの]〜[ｎで割り切れるもの]が少なくとも１つずつは存在する。
そこで、ｎ＝２６である本問に戻って割り切れたときの商を考えてみます。
もし商が２なら、最もスローなペースでさえ２６日間で５２冊読むことになります。
すると、残り３冊を前後合わせて５日間で読むことになり、「毎日１冊以上読む」に矛盾します。
当然、商が３以上の場合も同様に「毎日１冊以上読む」に矛盾します。
また、「毎日１冊以上読む」ので、商が０はあり得ません。
結局、商は１だけが許され、ちょうど２６冊を読んだ連続何日間(≦２６日間)が存在することになります。
この方法で、ｎ冊をちょうど読んだ連続何日間(≦ｎ日間)の存在を確かめてみると、
５５−２ｎ＜３１−ｎ 故に ｎ＞２４
ところがｎは１≦ｎ≦３１の整数なので、
２５ , ２６ , ２７ , ２８ , ２９ , ３０ , ３１ です。
よって、２６冊に限らず２５冊〜３１冊のそれぞれをちょうど読んだ連続何日間も存在します。
◆出題者のコメント。
早速、力強い解答が届いたみたいですね。
やはり、一番パズルに近い１に集中しましたが(笑)。
初めの解答は私も思いつきませんでした。
シンプルで小学生にも分かるような素晴らしい解法だと思います。
２つ目については、後半に疑問が残ります。
３つ目は私が用意していた３通りの解法の１つで、『具体的に数列の番号を定めて示す』というものです。
まだまだ様々な解き方がありそうなので、２，３番も含めて、解答をお待ちしています。