◆神奈川県 ａｌｅｐｈさんからの解答。
漸化式を使わないで解いてみました。
【問題３】
予想：
１＋nＣ2＋nＣ4 個(ｎ≧１)に分けられる。
但しnＣkでn＜kのときはnＣk＝０とする。
【問題４】
証明：
順に線を引くと考える。
すると円の中は、既に引いてある線と交わるたびに１つ増え、引き終えるごとに１つ増える。
はじめ円の中は１つなので、
結局円は１＋(線分の数)＋(交点の数)に分けられる。
線分の数＝ｎ個の点から２個の点を選ぶ数＝nＣ2
交点の数はｎ個の点から４個の点を選んで４角形を作ると
その対角線の交点と１：１に対応することから nＣ4。
以上から １＋nＣ2＋nＣ4 個(ｎ≧１)に分けられる。
【コメント】
わかりやすい解答を送っていただいてありがとうございます。
この問題はｎ＝１〜５までは、１，２，４，８，１６となるので、
２n-1という誤答を期待していたのですが？(^_^;