◆東京都 かえる さんからの解答。
ケーキの大きさを1として、
ケーキがx:(1−x)(0<x<1)に分かれるときの兄が取るケーキの大きさの期待値は、
x2+(1−x)2
兄が取るケーキの大きさの期待値は、
1 ∫ 0 |
(x2+(1−x)2)dx | / | 1 ∫ 0 |
1dx | = | 2 3 |
【感想】
「兄がブラックチェリーを取る」という点が、クリティカルに不公平な気もします・・・。
◆新潟県 加藤 英晴 さんからの解答。
ケーキをその中心が原点になる単位円,
ブラックチェリーをその円の内部の任意の1点B,
はじめにランダムに選ぶケーキの円周上の点を (1,0)とします.
その次にランダムに選ぶケーキの円周上の点を (cosθ,sinθ)とします.
(0<θ≦2π)
「公平な分配」になる とは,
(兄に分けられるケーキの面積の期待値)= | π 2 |
になる |
(兄に分けられるケーキの面積の期待値)
= | 1 2π | × | 2π ∫ 0 | {(Bが中心角θの扇形の内部にある確率)×(中心角θの扇形の面積)+(Bが中心角θの扇形の内部にない確率)×(中心角2π−θの扇形の面積)}dθ |
= | 1 2π | × | 2π ∫ 0 | {( | θ 2π |
)×( | πθ 2π | )+( | 2π−θ 2π |
)×( | π(2π−θ) 2π | )}dθ |
= | 1 2π | × | 2π ∫ 0 | ( | 1 2π |
θ2−θ+π | )dθ |
= | 1 2π | × | [ | 1 6π |
θ3− | 1 2 |
θ2+πθ | 2π ] 0 |
= | 2π 3 |
したがって,このわけ方は,「公平な分配」にならず,弟が不公平を被ります.
◆出題者のコメント。
早速の回答ありがとうございます。
もちろん皆さん正解ですね。
簡単すぎたでしょうか?
でも、この問題もうちょい付き合って下さいね。
「ブラックチェリーの乗っている方を兄が取ることにする」は言い換えると
「ブラックチェリーの乗ってない方を弟が取ることにする」と同じですね。
違いは、「乗っている」と「乗ってない」の違いです。
文学的には対称(?)ですよね、
でも数学的には非対称の結果がでました。
面白いと思いませんか?
追加問題
数式を使わず、兄の方が圧倒的に有利になることを説明して下さい。
出題者は、良い説明ができなくて困っています(笑)
◆北海道 キューダ さんからの解答。
次のような分け方を考えて頂きたい。
兄は、ブラックチェリーの真上に包丁を入れなければならない。 ただし、包丁を入れる時、一時ブラックチェリーを取り除き、切った後に、切った場所のすぐ右側か左側かに置きなおす。 この操作は、弟に見えないようにする。 兄が切った後、弟は、好きな場所に包丁を入れることができる。 (弟は、兄が、ブラックチェリーをどちら側に置いたかわからない) 確実に、ほぼ半分を食べたければ、ブラックチェリーがあった場所のほぼ反対側に入れればいいし、大勝負にでて、ブラックチェリー近辺 に入れてもよい。 |
この分け方だと、食べられるケーキの期待値が1/2であることは疑いないだろう。
兄が、右に置くか、左に置くかは自由なので、弟の切り方に依らなくなる。
さて、この「平等な分け方」に対し、兄に次のような自由度を与える。
『兄は、どこに包丁を入れてもよい。』
まず、ブラックチェリーのあった場所から、ちょっとだけずれた場合を考えてみよう。
この場合、どちら側にずれようとも、「平等な分け方」の時と比べて、兄のケーキが大きくなるのが確認できる。
ずれた分だけ、「平等な分け方」の時に比べて、兄のケーキが大きくなっている。
ちょっとだけでなく、かなりずれた場合はどうだろうか?
例えば、弟が切った場所を越えるような場合である。
だが、これは、兄が切った場所と、弟が切った場所を入れ替えただけと考えられ、状況は同じである。
つまり、ブラックチェリーと切り口が離れるほど、兄の有利さが増すのである。
問題で与えられている設定は、この、兄に自由度を与えた場合に相当する。
これにより、平等でないことが、確認できるだろう。
◆香川県の高校生 al さんからの解答。
ケーキの分け方を決定する要因は、
A:2本の直線のなす角の大きさ
B:なす角が一定のときの2本の直線のとり方
の2つである。
問題ではこの2つをまとめてやっているが、分けて考える。
Aは、180°とそれ以外に分けられる。
Bは、2直線を固定して、ブラックチェリーをルーレットのように、ケーキの真ん中を中心として動かして決めてもよい。
なす角が180°のときは、兄弟の取り分は、同じ。
なす角が180°以外のときは、チェリーは明らかにパックマンのようの中でとまる確率のほうが大きい。
つまり、なす角が180°のときは公平で、それ以外のときは兄が有利。
よって兄が有利。