『公平な分配 Part2』解答


◆東京都 かえる さんからの解答。

ケーキの大きさを1として、
ケーキがx:(1−x)(0<x<1)に分かれるときの兄が取るケーキの大きさの期待値は、
2+(1−x)2

兄が取るケーキの大きさの期待値は、
1

0
(x2+(1−x)2)dx 1

0
1dx


従って、不公平・・・【答】

直感的に述べれば、兄はブラックチェリーが乗っている方を取るところ、大きい方がブラックチェリーが乗っ ている確率が高いため、兄が大きい方を取る確率が高くなり、兄が有利になる。

【感想】

「兄がブラックチェリーを取る」という点が、クリティカルに不公平な気もします・・・。


◆新潟県 加藤 英晴 さんからの解答。

ケーキをその中心が原点になる単位円,
ブラックチェリーをその円の内部の任意の1点B,
はじめにランダムに選ぶケーキの円周上の点を (1,0)とします.

その次にランダムに選ぶケーキの円周上の点を (cosθ,sinθ)とします.
(0<θ≦2π)

「公平な分配」になる とは,
(兄に分けられるケーキの面積の期待値)= π
 になる
こととします.

(兄に分けられるケーキの面積の期待値)

2π
×

0
{(Bが中心角θの扇形の内部にある確率)×(中心角θの扇形の面積)+(Bが中心角θの扇形の内部にない確率)×(中心角2π−θの扇形の面積)}dθ

2π
×

0
{( θ
2π
)×( πθ
2π
)+( 2π−θ
2π
)×( π(2π−θ)
2π
)}dθ

2π
×

0
(
2π
θ2−θ+π )dθ

2π
× [
6π
θ3
θ2+πθ
]
0
2π

したがって,このわけ方は,「公平な分配」にならず,弟が不公平を被ります.


◆出題者のコメント。

早速の回答ありがとうございます。
もちろん皆さん正解ですね。
簡単すぎたでしょうか?

でも、この問題もうちょい付き合って下さいね。
「ブラックチェリーの乗っている方を兄が取ることにする」は言い換えると 「ブラックチェリーの乗ってない方を弟が取ることにする」と同じですね。

違いは、「乗っている」と「乗ってない」の違いです。
文学的には対称(?)ですよね、
でも数学的には非対称の結果がでました。
面白いと思いませんか?

追加問題

数式を使わず、兄の方が圧倒的に有利になることを説明して下さい。
出題者は、良い説明ができなくて困っています(笑)


◆北海道 キューダ さんからの解答。

次のような分け方を考えて頂きたい。

兄は、ブラックチェリーの真上に包丁を入れなければならない。
ただし、包丁を入れる時、一時ブラックチェリーを取り除き、切った後に、切った場所のすぐ右側か左側かに置きなおす。
この操作は、弟に見えないようにする。

兄が切った後、弟は、好きな場所に包丁を入れることができる。
(弟は、兄が、ブラックチェリーをどちら側に置いたかわからない)
確実に、ほぼ半分を食べたければ、ブラックチェリーがあった場所のほぼ反対側に入れればいいし、大勝負にでて、ブラックチェリー近辺 に入れてもよい。

この分け方だと、食べられるケーキの期待値が1/2であることは疑いないだろう。
兄が、右に置くか、左に置くかは自由なので、弟の切り方に依らなくなる。

さて、この「平等な分け方」に対し、兄に次のような自由度を与える。

『兄は、どこに包丁を入れてもよい。』

まず、ブラックチェリーのあった場所から、ちょっとだけずれた場合を考えてみよう。
この場合、どちら側にずれようとも、「平等な分け方」の時と比べて、兄のケーキが大きくなるのが確認できる。
ずれた分だけ、「平等な分け方」の時に比べて、兄のケーキが大きくなっている。

ちょっとだけでなく、かなりずれた場合はどうだろうか?
例えば、弟が切った場所を越えるような場合である。
だが、これは、兄が切った場所と、弟が切った場所を入れ替えただけと考えられ、状況は同じである。

つまり、ブラックチェリーと切り口が離れるほど、兄の有利さが増すのである。

問題で与えられている設定は、この、兄に自由度を与えた場合に相当する。
これにより、平等でないことが、確認できるだろう。


◆香川県の高校生 al さんからの解答。

ケーキの分け方を決定する要因は、

A:2本の直線のなす角の大きさ
B:なす角が一定のときの2本の直線のとり方

の2つである。
問題ではこの2つをまとめてやっているが、分けて考える。

Aは、180°とそれ以外に分けられる。
Bは、2直線を固定して、ブラックチェリーをルーレットのように、ケーキの真ん中を中心として動かして決めてもよい。
なす角が180°のときは、兄弟の取り分は、同じ。
なす角が180°以外のときは、チェリーは明らかにパックマンのようの中でとまる確率のほうが大きい。

つまり、なす角が180°のときは公平で、それ以外のときは兄が有利。
よって兄が有利。


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