ｌ：Ｌ＝√（ｔの面積）：√（Ｔの面積）＝１：
◆東京都 通りすがり さんからの解答。
●正六角形ＡＢＣＤＥＦ:
ＡＢの中点をＡ'、ＢＣの中点をＢ'、、、ＦＡの中点をＦ'、とし、重心をＧとする。
２分割：ＡＤで分割。
３分割：ＡＧ，ＣＧ，ＥＧで分割。
４分割：ＡＤ，Ｂ'Ｅ'で分割。
２分割：Ａ'Ｄ'，Ｂ'Ｅ'，Ｃ'Ｆ'で分割。
８分割：ＡＤで分割して、それぞれを４分割
（合同分割にある。）
●正三角形ＡＢＣ：
ＡＢの中点をＣ'、ＢＣの中点をＡ'、ＣＡの中点をＢ'、とし、重心をＧとする。
２分割：ＡＡ'で分割。
３分割：ＡＧ，ＢＧ，ＣＧで分割。
４分割：Ａ'Ｂ'，Ｂ'Ｃ'，Ｃ'Ａ'で分割。
５分割：不可能。
６分割：ＡＡ'，ＢＢ'，ＣＣ'で分割。
（ただの勘ですが、正三角形のＮ分割は、
Ｎ＝２e×３f×ｋ2（ｋ：自然数、e,f＝０または１）のときのみ可能ではないでしょうか。）
●５分割不可能の証明：
正三角形を５つに合同分割出来たとして、分割した図を考える。
元の正三角形Ｔの頂点ををＡ、Ｂ、Ｃとし、一辺の長さをＬとする。
分割した合同な三角形をｔとする。
０） 全ての頂点の数は、７つ以下。
Ａ，Ｂ，Ｃ以外の頂点の数をＮとする。
Ａ，Ｂ，Ｃ以外に頂点があったとき、その頂点に集まるｔの角度の和は、
１８０°（辺と頂点）または、３６０°（頂点のみ）である。
１８０°×Ｎ＋（∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ）≦（５つのｔの内角の和（＝１８０°×５））
よって、Ｎ≦４
（全ての頂点の数）＝Ｎ＋３（Ａ，Ｂ，Ｃの分）≦７
１） 各辺上に頂点が１点以上存在する。
背理法。ＡＢ上に頂点がないとする。（ＡＢ＝Ｌ）
Ｔ上に長さＬの辺はＴの内部には取れない（３辺に一致するもののみ）ので、合同な三角形は３つ以上取れず、矛盾。
辺ＢＣ上で一番Ｂ（Ｃ）に近い頂点をＡ'（Ａ''）とする。
辺ＣＡ 〃 Ｂ'（Ｂ''） 〃 。
辺ＡＢ 〃 Ｃ'（Ｃ''） 〃 。
２） ｔの１つの角は６０°。
背理法。∠Ａ，Ｂ，Ｃがどれも２つ（以上でも同様）の角に分かれるとする。
∠Ａ（Ｂ，Ｃ）を分ける辺をＡＰ（ＢＱ，ＣＲ）とすると、
（１）より、∠ＢＡＰ，ＣＡＰ，ＡＢＱ，ＣＢＱ，ＡＣＲ，ＢＣＲはそれぞれ別の三角形（ｔ）に属する。
三角形が６つ以上になり、矛盾。
よって、∠Ａ，Ｂ，Ｃのどれかをもつｔが存在する。
（必要ならＡ，Ｂ，Ｃを入れ替えて、）∠Ａ＝６０°としてよい。
この時、△ＡＣ'Ｂ''はｔとなる。
３） ｔが二等辺三角形なら、ｔは正三角形。
（２）より明らか。
４） ｔは正三角形ではない。
背理法。ｔの一辺の長さをｌとする。
ｌ：Ｌ＝√（ｔの面積）：√（Ｔの面積）＝１：
よって、Ｌ＝ｌ×ｎ（ｎは自然数、辺ＡＢはｎ等分されている）とならず、矛盾。
５）
ＡＣ'＜Ｃ'Ｂ''＜Ｂ''Ａまたは、ＡＣ'＞Ｃ'Ｂ''＞Ｂ''Ａである。
∠Ｂ''＜∠Ａ＜∠Ｃ'のとき前者、
∠Ｂ''＞∠Ａ＞∠Ｃ'のとき後者になる。
∠Ｂ''＝∠Ａまたは、∠Ａ＝∠Ｃ'のときＡＣ'＝Ｃ'Ｂ''＝Ｂ''Ａとなり、（４）に矛盾。
他は、∠Ａ＝６０°に矛盾する。
（必要なら裏返して、）
ｌ＞ｍ＞ｎ、ｌ＝ＡＣ'、ｍ＝Ｃ'Ｂ''、ｎ＝Ｂ''Ａとする。
６) Ａ'＝Ａ''、Ｂ'＝Ｂ''、Ｃ'＝Ｃ''である。
背理法。(i)Ｃ'≠Ｃ''とする。
ＡＣ'＋Ｃ''Ｂ＜Ｌである。
Ｃ''Ｂ＝ｌまたはｍまたはｎなので、Ｃ''Ｂ≧ｎ
よって、ｎ＋ｌ（≦Ｃ''Ｂ＋ＡＣ'）＜Ｌ。 ---(*)
また、Ｂ'Ｃ＝ｌまたはｍまたはｎなので、Ｂ'Ｃ≦ｌ
よって、Ｂ''Ａ＋Ｂ'Ｃ（≦ｎ＋ｌ）＜Ｌ。
よって、Ｂ'≠Ｂ''
しかし、このとき、異なる頂点がＡ，Ｂ，Ｃ，Ａ'，Ｂ'，Ｂ''，Ｃ'，Ｃ''の８つ出来て、（０）に矛盾。
よって、Ｃ＝Ｃ'
またこのとき、Ｃ''Ｂ＝Ｃ'Ｂ＝ｎ、ＢＡ'＝ｌである。
（Ｃ''Ｂ＝ｍだと、(*)が成り立つ。また、ＢＡ'＝ｍだと、∠Ｂ＞６０°となる。）
(ii)Ｂ'≠Ｂ''とすると、(i)と同様の理由で矛盾。
よって、Ｂ'＝Ｂ''。
このとき、自動的にＡ'＝Ａ''が成り立つ。
（６）の証明より、ＡＣ'＝ＢＡ'＝ＣＢ'＝ｌ、Ｂ'Ａ＝Ｃ'Ｂ＝Ａ'Ｃ＝ｎ
また、Ｂ'Ｃ'＝Ｃ'Ａ'＝Ａ'Ｂ'＝ｍ
よって、△Ａ'Ｂ'Ｃ'は正三角形で、これを２等分するのだから、
ｔの３辺の比は、ｌ：ｍ：ｎ＝２：
：１となる。
しかし、分割の仕方から、
ｌ＝ＡＣ'＝（Ａ'Ｂ'Ｃ'の一辺の長さ）＝ｍでなければいけないから、矛盾。
よって、正三角形は５つに合同分割出来ない。
（感想）
直感的には簡単そうだったのですが、証明が面倒なものになってしまいました。
もっと一般的な証明がありそうですが、思いつきませんでした。
（あと、簡単に書こうとしたので、表現が適切でないところがあったかもしれません。）
◆出題者のコメント。
早々に解答してくださったにもかかわらず、コメントが遅くなってしまってすみません。
みごとな解答です。
私が用意した解答では３つの内角が２０度，６０度，１００度の三角形を必要条件で排除できなかったため、この解答よりもかなり長いものになっています。
「勘」の部分を証明するにはもっとシンプルな証明が必要でしょうが、この問題についてはとりあえずこれで十分簡潔な解答だと思います。