◆広島県の高校生 Ｍｉｙａ−Ｎ さんからの解答。
N の最大値を x とします。
条件を満たすためには、集合{0,1,2,…43}の任意の要素を選んだとき、その要素を含む部分集合が「高々 2 個」であればよいのです。
このような部分集合を作るには、11 枚カードが入る箱を x 個と、0, 1, …43の数字が書いてあるカードを２枚ずつ、計 88 枚用意して、
そのカードを箱に収めていけばよいので、
（N が最大値でないときには、使わないカード、箱があるときである。）
11x=88 より、x=8 となります。
従って、N の最大値は 8 になります。
◆大阪府の高校生 Alpha Omega さんからの解答。
44個の異なる要素からなる集合{0,1,2,…,43}をSとし、Sから各集合が11個の要素を持つように作った異なるN個の部分集合を
それぞれ s1,s2,s3,…,sN とする。
1≦i＜j＜k≦N を満たすすべての自然数i,j,kに対し、
si∩sj∩sk=φが成立しているので、
si,sj,sk の中では同じ要素が2個以下であることがわかる。
したがって、s1,s2,s3,…,sN の中でも同じ要素は2個以下である。
同じ要素が2個以下なので、Sからは合計88(=44×2)個以下の要素しか取ることができない。
すなわち、N≦8(=88÷11)である。(必要条件)
ところで、N=8となる場合は、
s1={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}
s2={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,21}
s3={11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,10}
s4={11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21}
s5={22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32}
s6={22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,43}
s7={33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,32}
s8={33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43}
が存在するので、N=8が最大。