◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
この問題は以前にも出題されたトリボナッチ数列ですね。
階段を１段〜３段で登るとき．．は？。
【問題１】
１点 １ ２点 １＋１，２ ３点 １＋１＋１，１＋２，２＋１，３ ４点 １＋１＋１＋１，１＋１＋２，１＋２＋１， ２＋１＋１，２＋２，１＋３，３＋１ ５点 １＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋２， １＋１＋２＋１，１＋２＋１＋１ ２＋１＋１＋１，１＋２＋２，２＋１＋２， ２＋２＋１，１＋１＋３，１＋３＋１， ３＋１＋１，２＋３，３＋２以上のように
答え ２７４通り。
【問題２】
８１，１４７，２７４，５０４，９２７，１７０５，３１３６，５７６８
答え ５７６８通り。
【問題３】
Ｔ(1)＝１,Ｔ(2)＝２,Ｔ(3)＝４
Ｔ(n)＝Ｔ(n-1)＋Ｔ(n-2)＋Ｔ(n-3) n≧4
特性方程式は３次方程式で、「わかさひ君」さんがその解法の指針を示されましたが、実際に一般式を求められた方はおられるのでしょうか。
【コメント】
階段の問題も有名な問題ですよね。
残念ながら一般項の式は報告されていません。
求めるにはかなりの根性が必要でしょう。
◆岐阜県 水の流れ さんからの解説。
＜解説＞
このバスケットボ−ルも問題は、トリボナッチ数列になります。
１点＝１・・・・（１通り） ２点＝１＋１、２・・・（２通り） ３点＝１＋１＋１，１＋２、２＋１，３・・・（４通り）４点の場合は１点からの３ポイント、２点からの２ポイント、３点からの１ポイントの加算があります。
Ｔ(１)＝１，Ｔ(２)＝２，Ｔ(３)＝４，
Ｔ(４)＝Ｔ(１)＋Ｔ(２)＋Ｔ(３)＝７
同様に、計算していくと、
｛Ｔ(ｎ)｝
１，２，４，７，１３，２４，４４，８１，１４９，２７４，５０４，９２７，１７０５，３１３６、５７６８，・・・
したがって、
問１ Ｔ(１０)＝ ２７４
問２ Ｔ(１５)＝ ５７６８
問３ Ｔ(ｎ)＝Ｔ(ｎ−１)＋Ｔ(ｎ−２)＋Ｔ(ｎ−３)
（ただし、ｎ≧４の整数）
◆Takahisa Iida さんからの解答。
この数列の特性方程式は
χ3−χ2−χ−１＝０
で、この根は実根が１つと虚根が２つです。
虚根が１より小さいので、実根をａとすると、この数列の第ｎ項はほぼ
ｃ×ａｎ
で表されます。ここでｃは定数です。
ニュートン法でａを求めると
ａ＝１．８３９２８６７５５
で、これからｃを試行錯誤で求めると
ｃ＝０．６１８４１９９２２
となります。(これらの値は近似値です）
実際の数列と、ｃ×ａｎを四捨五入したものを比べると、値がほぼ一致していることが確認できます。
私の計算では、第５０項までは大丈夫でした。(計算してみて下さい)
【コメント】
非常に面白いアイディアですね。
一般項を求める気がしないので、近似値を簡単に計算できるのは有用だと思います。
ただｃを求めるのが大変？では。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
特性方程式 χ3−χ2−χ−１＝０の実根ａを求めてみました。
ａ＝１．８３９２８６８
ここから、「わかさひ君」さんの指針によって隣接３項間の漸化式を求めて、さらに一般式までたどりつくのは至難の技のように思います。
◆Takahisa Iida さんからの解答。
係数ｃが判りましたのでお知らせします。
特性方程式の実根をａとすると、
となります。
通常の連立方程式を解いてこの係数だけを求めました。
根と係数の関係も使います。
変数の置き方に少しだけ工夫しました。
他の根とその部分の係数は、面倒なので求めませんでした。