『ババぬき、どちらが有利?』解答


◆宮城県 たこやきくん さんからの解答。

n枚のカードに番号を付け、ババを0とする。
A:1,2,3,4,5,6,…,n
B:0,1,2,3,4,5,6,…,n

【問題1】

0を持っている、Bの勝つ確率をpn、Aの勝つ確率をqnとする。
p1 = 1
2
1
2
+1
2
1
2
p1 から、
p1 = 1
3
・・・(Bが勝つ確率)
q1 = 1
2
・1+ 1
2
1
2
q1 から、
q1 = 2
3
・・・(Aが勝つ確率)
(樹形図を書くとわかりやすい)

【問題2】

同様にして、
p2 = 1
3
2
3
+1
3
1
3
p2 から、
p2 = 1
4
・・・(Bが勝つ確率)
q2 = 2
3
・1+ 1
3
1
3
q2 から、
q2 = 3
4
・・・(Aが勝つ確率)

【問題3】

(A,B):(1〜n,0と1〜n)から、
1
n+1
の確率で(0と1〜n,1〜n)<はじめの状態でAとBが逆
n
n+1
の確率で(n-1枚の普通のカード,0とn-1枚の普通のカード)
次は、必ず(n-2枚の普通のカード,0とn-2枚の普通のカード)となる。

これより、漸化式を作って、n≧3のとき、
pn= 1
n+1
・qn + n
n+1
・pn-2 …(A)
qn= 1
n+1
・pn + n
n+1
・qn-2 …(B)

これより、(A)+(B)をして、
pn+qn=pn-2+qn-2

また、p1+q1=p2+q2=1から、
pn+qn=1 …(C)

また、(A),(C)より、

(n+2)・pn-n・pn-2=1 (n≧3)

(n+2)・pn=rnと置いて、
rn-rn-2=1 (n≧3) …(D)

ここで、問題1,2の結果より、
r1=3・p1=1, r2=4・p2=1 …(E)

kを整数として、
・n=2kの時は、(D),(E)から、r2k=r2(k-1)+1=・・=k

・n=2k-1の時は、(D),(E)から、r2k-1=r2(k-1)-1+1=・・=k

となり、よって答えは、
pn= n
2(n+2)
(n:偶数)…(Bが勝つ確率)
pn= n+1
2(n+2)
(n:奇数)…(Bが勝つ確率)

qnは、(C)より、1-pnなので、
qn=1 - n
2(n+2)
(n:偶数)…(Aが勝つ確率)
qn=1 - n+1
2(n+2)
(n:奇数)…(Aが勝つ確率)


◆山梨県 Footmark さんからの解答。

【問題1】も【問題2】も、先にババ以外を引いた人が必ず勝ちになる。

また、先手はババを持たないので、
● 先手,後手の勝つ比率=1:(先手が初手でババを引く確率)

何故なら、後手にとって先手が勝つようなすべてのケースは、まず、先手にババを引いてもらってからでないと起き得ない。

【問題1】
先手,後手の勝つ比率=1:
=2:1
Aが先手でBが後手。
∴ Aの勝つ確率=
, Bの勝つ確率=
【問題2】

先手,後手の勝つ比率=1:
=3:1
Aが先手でBが後手。
∴ Aの勝つ確率=
, Bの勝つ確率=
【問題3】

便宜的に、最初ババを持たない人のカード枚数がn枚ならnゲームと呼ぶ。
nゲームではババを持たない人が先手なので次のことが言える。

●(n−2)ゲームの先手(nゲームの先手とは限らない)はババを持たない。

何故なら、ババを持つ人がカードを引くと必ず2枚が揃い捨てられる。
ところが、その前の手番で必ず相手はババ以外を引き2枚が揃い捨てている筈である。

また、相手がババを引くと今までババを持つ人は今度はババを持たない人になる。
結局、ババを持たない人がババ以外を引いた時に限り、互いに2枚ずつ続けて捨てることになる。
それ以外や片方だけがカードを捨てることはあり得ない。
すると、(n−2)ゲームでの先手は絶対ババを持たないことになる。

また、先にババ以外を引いた人が必ず(n−2)ゲームでの先手になる。
また、nゲームの先手はババを持たない。
このことは、【問題1】や【問題2】の勝つ比率と同様なので、

● nゲームの先手,後手の(n−2)ゲームの先手比率
 =1:(nゲームの先手が初手でババを引く確率)

何故なら、後手にとって先手が(n−2)ゲームの先手になるようなすべてのケースは、まず、先手にババを引いてもらってからでないと起き得ない。
nゲームの先手が初手でババを引く確率=
n+1
先手になる確率+後手になる確率=1

よって、
●先手が(n−2)ゲームの先手になる確率=n+1
n+2
●先手が(n−2)ゲームの後手になる確率=
n+2

ここで、nゲームの先手が勝つ確率を #先手(n)# と定義すると、
後手が勝つ確率=1−#先手(n)#
∴#先手(n)#=n+1
n+2
#先手(n-2)# +
n+2
(1−#先手(n-2)#)
∴ #先手(n)#=n#先手(n-2)#+1
n+2

【問題1】,【問題2】より、
#先手(1)#=
, #先手(2)#=

これらを利用して漸化式を解き、nゲームではAが先手でBが後手であることを考慮すると、
●Aの勝つ確率=#先手(n)#=
2+[

n+2
●Bの勝つ確率=1−#先手(n)#=
n−[

n+2
(ただし、[ ]はガウス記号)


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