◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
ｉ行ｊ列のマスの値をａ(i,j)で表すことにします。
【問題１−２】から行きます。
いくつかのマスを計算すると、
ａ(i,j)＝i+j-2Ｃi-1×ｍi-1×ｎj-1 ・・・(1)
と予想できます。
１行目は、左の数がｎ倍されたものが入るだけですから、初項１、公比ｎの等比数列になります。
ａ(1,j)＝ｎj-1
同様に、１列目は初項１、公比ｍの等比数列であり、
ａ(i,1)＝ｍi-1
これらは、(1) を満たします。
今、p≧2, q≧2 なる 整数 p, q について、
ａ(p-1,q) および ａ(p,q-1) が (1) を満たしているとします。つまり、
ａ(p-1,q)＝p+q-3Ｃp-2×ｍp-2×ｎq-1
ａ(p,q-1)＝p+q-3Ｃp-1×ｍp-1×ｎq-2
このとき、定義により ａ(p,q) を計算すると、
ａ(p,q)
＝ｍ×ａ(p-1,q)＋ｎ×ａ(p,q-1)
＝（p+q-3Ｃp-2＋p+q-3Ｃp-1）×ｍp-1×ｎq-1
| ここで、nＣr＝ | ｎ! ｒ!(ｎ−ｒ)! | より、 |
p+q-3Ｃp-2＋p+q-3Ｃp-1
| ＝ | (p+q-3)! (p-2)!(q-1)! | ＋ | (p+q-3)! (p-1)!(q-2)! |
| ＝ | (p-1)(p+q-3)! (p-1)!(q-1)! | ＋ | (q-1)(p+q-3)! (p-1)!(q-1)! |
| ＝ | (p+q-2)(p+q-3)! (p-1)!(q-1)! |
| ＝ | (p+q-2)! (p-1)!(q-1)! |
| ＝p+q-2Ｃp-1 |
であるので、
ａ(p,q)＝p+q-2Ｃp-1×ｍp-1×ｎq-1
となり、ａ(p,q) についても (1) が成り立ちます。
よって、数学的帰納法により、すべての自然数 i, j について (1) が成り立ちます。
【問題１−１】は ｍ＝ｎ＝２とすると、
ａ(i,j)
＝i+j-2Ｃi-1×２i-1×２j-1
＝i+j-2Ｃi-1×２i+j-2
◆出題者のコメント。
解答ありがとうございます。
【問題１−１】も【問題１−２】も正解です。
お気付きのように、ｍ＝ｎ＝１ならマス目を斜めに見ればパスカルの三角形になります。
（ただし、１番上は0Ｃ0(＝１)です）
また、Ｉ,Ｊを０から始め Ｉ＝ｉ−１ , Ｊ＝ｊ−１ とすると、
ｍIｎJI+JＣI と至って綺麗な解になります。
【問題２】は【問題１】に比べると多少厄介ですが、是非解いてみてください。
解答を期待しています。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題２】
問題の関係を行列要素Ａi,jの漸化式に表すと、
Ａi,j＝Ｂi,j −(ｍ＋ｎ)
すると漸化式は以下となりＢは丁度パスカルの三角形（の変形：下図）になります。
Ｂi,j＝i+j-1Ｃj×ｍ+ i+j-1Ｃi×ｎ である。
ただし i-1Ｃi =0 。
すなわち
Ａi,j＝ｍ(i+j-1Ｃj−１)+ｎ(i+j-1Ｃi−１)
【ＰＳ】
(4)において値が矛盾する場合、その差をｋとしてＡi,jに
ｋ×i+j-2Ｃi-1を加えればよい。
◆出題者のコメント。
解答ありがとうございます。
非の打ちどころのない名解答です。
もちろん、正解です。
参考までに、パスカルの三角形を利用した解法を具体的に示します。
「６行３列の値」を例とします。
【問題２ー１】は、上のパスカルの三角形で青色の数の合計が求める値になります。
また、この合計数は下の２つのパスカルの三角形の青色の数の総合計数にもなっています。
（ただし、下のパスカルの三角形の１番上は0Ｃ0(＝１)です）
このことを利用すると、【問題２ー２】は、左側の青色の数の合計のｍ倍と右側の青色の数の合計のｎ倍を合わせた数に
なります。
また、各パスカルの三角形の青色の数の集団に対して上図のような位置にある反転数に着目すれば、青色の数の合計は反転数より１つだけ少なくなっています。
そこで、これらの合計を一発で表現したのが他でもない Y.M.Ojisan さんの名解答です。
何故なら、
ｍ(i+j-1Ｃj−１)＋ｎ(i+j-1Ｃj-1−１)
＝ｍ(i+j-1Ｃi-1−１)＋ｎ(i+j-1Ｃi−１)
＝ｍ(i+j-1Ｃj−１)＋ｎ(i+j-1Ｃi−１)
また、i+j-1Ｃi-1＋i+j-1Ｃi＝i+jＣi ですから
【問題２−１】は i+jＣi−２ となります。
Ｉ,Ｊを０から始め Ｉ＝ｉ−１ , Ｊ＝ｊ−１ とすると、
i+jＣi−２＝(I+1)+(J+1)ＣI+1ー２
ですから面白いことに、【問題２ー１】のすべてのマスに２を加えてみると、各マスの値は下の図のように両端を除いたパスカルの三角形になります。
