◆埼玉県 斉藤 誠 さんからの解答。
【問題１】
最も少ない壁で仕切られた部屋を考えます。
三角形の部屋です。
カメラ１台でかつ何処に配置しても十分なのは自明です。
個別の二つの部屋があればカメラ２台必要なのも自明。
（１）
この二つの部屋を一部分で重ねてつながった部屋にすると、どのように重ねても重なった部分に１台のカメラで十分なのも明らかです。
二つの三角形それぞれの一部分ですから。
（＝二つの部屋の１つの壁を共通にすることで最小で５角形になる）
（２）
ここで、出来る限り少ない壁を追加して２台のカメラを必要とするには、元の二つの三角形の部屋の共通部分が離れるようにすることです。
１つの壁を追加する事で「共通部分」が無くなる様にできます。
（＝（１）と同様、最小で６角形になる）
次に第３の部屋を追加します。
（１），（２）と同じ方法で３台のカメラを必要とするには９角形の部屋ができます。
結論
あらたに３つの壁を追加することで１台のカメラを追加する必要がある。＝題意
十分条件が不足しているとはおもいますが！、どうでしょう？
【コメント】
これは【おまけ】のちょうど［ｎ／３］台、必要になるような多角形の例になっていると思います。
したがって必要条件ですね。
◆茨城県 ahiru さんからの解答。
◆東京都の中学校１年生 安里歩安彼 さんからの解答。
【問題１】
まずｎ角形をｎ−２個の三角形に分割します。
このとき、三角形に分割した図をグラフと考えたときに、そのグラフは３色で彩色可能です。
（証明略。ｎによる帰納法）
すると、分割された各々の三角形の３頂点は、３色すべてで塗られています。
よって、どの色をとっても、すべての三角形の頂点に含まれるので、ある色で塗られた点すべてにカメラを置けば、死角はなくなります。
さらに、このグラフの頂点はｎ個なので、ある色については、その色で塗られた頂点は[ｎ/３]個以下です。
よって、示されました。
【問題２】
作図ソフトがないのでうまく表現できないのですが、ｎが３で割り切れるときは三角形の辺どうしを、非常に細いテープでつなげた形、とでも言えばいいのでしょうか。
また、ｎが３割って、１又は２余るとき、十分に小さい長さだけ、端を削れば、求めるｎ角形が得られます。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
５角形の場合一台のカメラが十分です。
n角形を５角形ずつに分けます。
つまりm台のカメラがあれば
最大角形(n)＝ 5m-2(m-1)=3m+2、
ここで 2(m-1)は共通辺の数です。
よって3(m-1)+2＜n≦3m+2の場合m台があれば十分です。
すなわち[n/3]台があれば十分です。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
●ヒントの命題の証明
| すべての色のライトが[ | ｎ ３ | ]個よりおおきいと仮定する。 |
ｎ＝３ｋ＋ｊ （ｊ＝０，１，２）と３の剰余系で書いて
| 全ライト数 ｎ≧３・[ | ｎ ３ | ］＋３＝３ｋ＋３＞ｎ |
となり矛盾する。
| よって少なくともひとつの色のライトの個数は[ | ｎ ３ | ]個以下である。 |
（終）。
区分したどの三角形も異なる３色の頂点をもつことと、三角形のどの頂点からもその内部が監視できることから、 どの色の頂点群からでも題意の監視ができる。
| よってカメラの数は[ | ｎ ３ | ]個で十分。 |