◆滋賀県 一平ちゃん さんからの解答。
【問題１】
| arctan( | 1 x | )＋arctan( |
1 y | )=arctan( | 1 z | ) …＊ |
＊において両辺の正接をとれば、加法定理を適用して、
| ｘ＋ｙ ｘｙ−１ | ＝ |
1 ｚ | …＃ |
を得る。
従って
| ｚ＝ | ｘｙ−１ ｘ＋ｙ |
∴
| ｘ−ｚ＝ | ｘ2＋１ ｘ＋ｙ |
| ｙ−ｚ＝ | ｙ2＋１ ｘ＋ｙ |
これらをそれぞれｕ，ｖとおけば、
ｚ2＋１＝ｕｖ が成立する。
証明を逆にたどることによって逆も成立する。
◆富山県 N.C さんからのコメント。
【問題２】
解答ではないのですが，．．．
(ｘ＋ｙ)は２ｚの倍数になることが簡単に証明できます。
そこで、ｚが4000以下の場合を全て求め、
| x+y 2z | の値によって分類してみました。 |
規則がありそうで判らず、弱ります。
| x+y 2z | ＝−１のとき |
| x+y 2z | ＝２のとき |
(x,y,z)=( 1, 7, 2)
(x,y,z)=( 7, 41, 12)
(x,y,z)=( 41, 239, 70)
(x,y,z)=( 239,1393, 408)
(x,y,z)=(1393,8119,2378)
| x+y 2z | ＝５のとき |
(x,y,z)=( 2, 38, 4)
(x,y,z)=( 38, 682, 72)
(x,y,z)=(682,12238,1292)
| x+y 2z | ＝１０のとき |
(x,y,z)=( 3, 117, 6)
(x,y,z)=(117,4443,228)
| x+y 2z | ＝１７のとき |
(x,y,z)=( 4, 268, 8)
(x,y,z)=(268,17684,528)
以下略。
参考までに、ｚが４０００以下の場合を求める十進ＢＡＳＩＣ用のプログラム。
OPTION ARITHMETIC RATIONAL
function add(x,y)
let add=(x*y-1)/(x+y)
end function
for z=1 to 4000
let z2=add(z,z)
for x=1 to z-1
let y=add(z2,-x)
if 1=DENOM(y) then
print (x+y)/(2*z),"(x,y,z)=(";x;",";y;",";z;")"
end if
next x
next z
END◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【準備】
cos(nθ)+i*sin(nθ)=(cosθ+i*sinθ)n -----(1)
より tanθ=1/Zとおけば (ただし Z≠０)
tan(2θ)=2Z/(Z2-1) -----(2)
tan(3θ)=(3Z2-1)/(Z3-3Z) -----(3)
tan(4θ)=(4Z3-4Z)/(Z4-6Z2+1) -----(4)
また、公式
tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)*tan(b)) -----(5)
問題の式の左辺はtanをとると、(5)により
左辺＝(1/x+1/y)/(1-1/xy)=(x+y)/(xy-1) ----(6)
ただし、題意より xy≠０
また、arctan は奇関数であるので、
Z＞0 としても問題として一般性は失わない。
【問題２】
Arctan(1/x)+Arctan(1/y)=2Arctan(1/z) -----(2-1)
Z=1のとき右辺は π/2であるが 左辺の最大は
x=y=1のときπ/2であって、
これは x＜|y| 条件に合わない。
よって、２≦Z としてよい。
一方 0＜x＜|y|の条件であるが、
@ 0＜x＜yの場合 x≠yの条件に置きかえてもx yは対称なので一般性を失わない。
また z＞0なのでx＞0の条件もでる。
A 0＜x＜-yの場合は z>０の条件から出てくるので必要ない。
すなわち、付帯条件を
２≦Z および x≠y である整数ｘ、ｙ、ｚとしても等価である。
(2)と(6)を（2-1）に適用すると、
(x+y)/(xy-1)=2Z/(Z2-1)
２≦Z であるので (Z2-1)≠０
また、xy=1 なる整数ｙ,x＞0は、
ｘ＝ｙ＝１であり
条件 x≠yに反する。
よって、(xy-1)≠０
以上より両辺に
(Z2-1)(xy-1)をかけても、等価である。即ち
(Z2-1)*(x+y)-2Z*(xy-1)=0 ------(2-2)
ここで問題１同様に
x=Z+u y=Z+v とおけば u,vは整数で
u≠v でなければならない。
(2-2)に代入し整理すると、
(Z2+1)*(u+v)+uv*2Z =0 ------(2-3)
(2-3)は uv=0のとき u=v=0なる解をもつが
条件 u≠v に反している。
よって、uv≠0なる条件が必要であるが、
(2-3)を下記のように書き換えることにより
自然に uv≠0の条件がつく。
2Z/(Z2+1) + (u+v)/uv = 0 ------(2-4)
すなわち、 (2-4)を満足する 整数 u,v,Zが存在する。
ただし、２≦Z
必要条件証明完了
次に ２≦Z のとき、(2-4)を満足する整数 z,u,vが存在したとする。
このとき (2-4)の導出過程から (2-1)は成立する。
ただし、u≠vで無ければならないが
u=v=P：整数のとき 式(2-4)は
P＝Z+1/Z
と変形され ２≦Z Z:整数 なので Pは整数ではない。
よって、u≠vの条件は不要である。
即ち十分条件であることが証明された。
【問題２答え】
2Z/(Z2+1) + (u+v)/uv = 0 を満足する整数
２≦Z，u，vが存在すること。
【問題２感想】
一応問題に解答したと思いますが、これで完成なのか不安です。
というのは、この式からすぐには解が見つからないからです。
次の２系列の解を発見できましたが、それ以外にもありそうです。
【問題３】
Arctan(1/x)+Arctan(1/y)=３Arctan(1/z) -----(3-1)
Z=1のとき右辺は ３π/４であるが
左辺の最大は x=y=1のとき２π/４であって、成立しない。
よって、２≦Z としてよい。
また、(3-1)から 少なくともx,yの何れかは正かつＺ未満で無ければならず，
Z＞x＞0 とする。
このとき |y|≧xであるとしてよい。
（3）と（6）を（3-1）に適用すると、
(x+y)/(xy-1)=(3Z2-1)/(Z3-3Z)
２≦Z であるので (Z3-3Z)≠０
一方 xy=1 なる整数ｘ、ｙ は Z＞0も考慮すると
ｘ＝ｙ＝１のみである。
このとき arctan(1/Z)=π/６であって、
Z=
/2。
即ち、Zは整数ではない。
よって、(xy-1)≠０ としてよい。
以上より両辺に (Z3-3Z)(xy-1)をかけても、等価である。よって、
(Z3-3Z)*(x+y)-(3Z2-1)*(xy-1)=0 ------(3-2)
ここで問題１同様
x=Z+u y=Z+v とおけば u,vは整数でなければならない。
また、Z＞x＞0より 0＞u＞-Z -------(3-3)
(3-2)に代入し整理すると、
(Z2+1)2+ 2Z*(u+v)*(Z2+1)+(3Z2−1)uv =0 --(3-4)
Z2+1=Q≧5 とおけば
Q2+2Z*(u+v)*Q=−(3Z2−1)uv --(3-5)
【問題３の補題】
Z2+1=Q と (3Z2−1) の公約数は高々２である。
互除法によれば (3Z2−1)-3Q=-4なので、公約数は高々４である。
Zが偶数のとき Qは奇数であり、２を因数にもたない。
Zが奇数のとき Z=2n+1とすると
Q=2+4(Z+2Z2)であり、２の倍数であるが４の倍数でない。
よって、=Q と (3Z2−1) の公約数はZが奇数のとき２、偶数のとき互いに素である。
(3-5)式の左辺はZが奇数のときQは偶数なので、２Qの倍数である。
従って問題３の補題により uvはQの倍数である。
Zが偶数のとき問題３の補題により無条件に uvはQの倍数である。
左辺＝Q2+2Z*(u+v)*Q=Q*(Q+2Z(u+v))
よって、uvは下記で表される。
uv =(A+1)Q A:整数 ----(3-6)
これを (3-5)に入れQ＞0で除して整理すると、
2Z(u+v)+ (3Z2−1)A+4Z2=0 ---(3-7)
Zと3Z2−1 は互いに素であるから AはZの倍数でなければならない。すなわち
uv =( BZ+1)Q B:整数 ---(3-8)
次に 特殊な場合を除き B=0に限ることを証明する。
(3-5) を解くと
−v／Q =(Q+2Zu)/(2ZQ+(3Z2−1)u) ---(3-9)
0＞u＞-Z Z≧２であるので
分子＝|Q+2Zu|＜max((Z-1)2,|Z2-2Z-1|)= (Z-1)2
分母は Z=３n ３n+1 ３n-1 に分類し分母の絶対値の最小を検討する。
分母が最小になるのは
u=-(2Z3＋2Z)/(3Z2−1) 付近である。
Z=2 に関してはu=-1であって、(3-9)より v=-5/9 で解はない。
よって Z≧3
@ Z=３nのとき （n≧1） u=-2n+αとおくと
分母=8n+α(27n2−1)
=8/3Z + α(3Z2−1)
8n=8,16,32 ,… に対し
(27n2−1)=26,107,242 …..＞2*(8n)
よって分母の絶対値が最小になるのは α＝０のときで
|分母|=8/3Z
次に小さいのは α＝±１のときであって、
|分母|=min(｜27n2−1+8n｜,｜ 27n2−1-8n｜ )
= 27n2−1−8n
｜分母｜/Z2= ３ -8/3Z -1/ Z2..≧2
即ち ｜分母｜≧2 Z2
まとめると Zが３の倍数のときで u=2Z/3の場合
｜−v／Q｜＜3/8(Z-1) ２/Z
その他のuのとき
｜−v／Q｜＜0.5(１−1/Z) 2＜0.5
A Z=３n-1のとき （n≧2）
u=-2n+1+αとおくと
分母＝(9n2+4n-2) + α(27n2−18n+2)
n＞2 のとき
(9n2+2n-2)= 85,150 ,… に対し
(27n2−18n+2)=191,362, …..＞( 9n2+2n-2)
であって、α＝０で最小となる。
n=2 のときはα＝−１で最小値36
n=2 Z=5 において 36/Z2＞1
n＞２ Z=3n-1 において
(9n2+2n-2)/ Z2＝１＋（3Z-n）/ Z2＞1
即ち ｜分母｜＞ Z2
まとめると Z≧5 が３の倍数−１のとき
｜−v／Q｜＜(1-1/Z)2
B Z=３n＋1のとき （n≧1）
● u=-2n-1+αとおくと
分母＝(9n2+4n-2) + α(27n2＋18n+2)
(-9n2+2n+2)= -5 , -30, -73 , -134 ,… に対し
(27n2+18n+2)=47,146,299,506 …..＞| -9n2+2n-2|*2
であって、α＝０で最小となる。
このとき分母だけでは、
|-9n2+2n+2|/ Z2＝１＋（-3Z+n）/ Z2＜1
であり、このままでは、欲しい結果ではない。
従って分子も考慮すると、(3-9)
for Z≧4
|−v／Q|
=(Q+2Zu)/(2ZQ+(3Z2−1)u)
=(Z2＋2Z−3)/(3Z2−8Z−１)
以上から for Z＞4 |−v／Q|＜１ が成立する。
Z=4 に対しては (3-9) により
u=-1,-2,-3 v=-9/89 , - 1/42, -7/5 で解は無い。
●α＝±１の場合は@と同様にして
|分母｜＞2 Z2
まとめると Z(≧5) が３の倍数+１のとき
｜−v／Q｜＜ 1
以上 @ABをまとめると
Z=3n u=-2n の場合を除いて ｜−v／Q｜＜1である。
|u|≦（Z−1）であるので
|uv/Q| =｜−v／Q｜|u|＜ （Z−1）----(3-10)
一方 (3-8)より B≠0 とすると
｜uv/Q｜ =｜ BZ+1｜≧|-Z+1|＝（Z−1）であり (3-10)と矛盾する。
よって B=0 即ち，
uv= Z2+1
以上をまとめると、（３−１）を満足する ｚ、ｘ、yが存在するのは下記２ケースに絞られた。
(a)uv= Z2+1 ｚ＞４
(b)u = -2Z/3 Z=3n
●(a)の場合
(3-4)に代入し整理すると
2Z+(u+v) = 0 ---(3-11)
(a)と(3-11)を満足するu,vは 下記２次方程式の解である
t*t+2Z*t+ Z2+1=0
判別式
D= Z2−（Z2+1）＝−１＜０
u,vは実数ではない。
よって (a)の場合に解は存在しない。
●(b)の場合
(3-9)にZ=3n u=-2nを代入し整理すると
-v ＝( 9 n2+1)*(3n2−1 )／8n
×８&整理 すると
-8v＝ 27 n3−6 n2−（1／n）
1/nが整数なのは n=1のみである。
このとき v=-5/4 で v は整数ではない。
以上で 解が存在しないことが証明された。
【問題３感想】
ゴールデンウィークに１つか２つ"？"をつぶそうと思い立ったが100年目、豪いものにハマッテしまった。
すぐに出来そうに見えたのですが、かくのごとく大論文になってしまいました。
読み返してみても、頭の混乱を反映しており、読みにくいものと思います。
もう少しスッキリできるところもありますが，いずれにしても、エレガントな解法が用意されていると推察しますので、やったと言う証拠として、このまま失礼ながら提出いたします。
（本音は書き直すのが面倒なのですが。）
【問題４】
Arctan(1/x)+Arctan(1/y)=４Arctan(1/z) -----(4-1)
【問題４解法】
Z=1のとき右辺は πであるが
左辺の最大は x=y=1のとき２π/４であって、成立しない。
よって、２≦Z としてよい。
また、(3-1)から 少なくともx,yの何れかは正かつＺ未満で無ければならず，
Z＞x＞0 とする。
このとき |y|≧xであるとしてよい。
（4）と（6）を（4-1）に適用すると、
(x+y)/(xy-1)=(4Z3-4Z)/(Z4-6Z2+1)
(ZSUP>4-6Z2+1)≠０ である。
一方 xy=1 なる整数ｘ、ｙ は Z＞0も考慮すると
ｘ＝ｙ＝１のみである。
このとき arctan(1/Z)=π/８であって、
Z=(1+
)。
即ち、Zは整数ではない。
よって、(xy-1)≠０ としてよい。
以上より両辺に
(Z4-6Z2+1) (xy-1)をかけても、等価である。
即ち、
(Z4-6Z2+1)*(x+y)- (4ZSUP>3-4Z)*(xy-1)=0
------(4-2)
ここで問題１同様
x=Z+u y=Z+v とおけば u,vは整数でなければならない。
また、Z＞x＞0より 0＞u＞-Z -------(4-3)
(4-2)に代入し整理すると、
2Z(Z2+1)2 +(u+v)(3Z2-1)(Z2+1)+4Z*(Z2-1)uv=0
------(4-4)
Z2+1=Q≧5 とおけば
2ZQ2+(3Z2-1)*(u+v)*Q
=−4Z(Z2−1)uv ------(4-5)
Q と −4Z(Z2−1) は高々 ２を公約数としてもつだけである。
よって
uv =Q/2*(1+A) A:整数 ----(4-6)
(4-5)に代入すれば
(3Z2-1)*(u+v)=−２Z(Z2−1)A−4ZSUP>3
(3Z2-1) とZは互いに素であり、かつ右辺は４の倍数、
(3Z2-1)は４の倍数でないので
u+v=２Z（B−１） B:整数 ---(4-7)
(4-5)に代入すれば
(3Z2-1)*(B-1)
=−(Z2−1)A−２Z2
A = −（(3Z2-1)*B＋1-Z2）／（Z2−1）
= 1 −(3Z2-1)*B／（Z2−1）
(3Z2-1) と （Z2−1） は 高々２を公約数としてもつ。従って
Bは（Z2−1）/2 の倍数 すなわち
A=1 ＋(3Z2-1)/2*C C:整数
結局
uv = Q + Q *(3Z2-1)/4*C ---(4-8)
一方 （4−4）を-vについて解くと
-v= Q* (2Z(Z2+1)+(3Z2-1)u)/( (3Z2-1)(Z2+1)+4Z*(Z2-1)u) ---(4-9)
ここで 問題３とほぼ同じ形式が構成された。
先にC=0の場合を詰めておくと，
uv=Z2+1
u+v=−２Z
この方程式を満足する u,vは t*t+2Zt+ Z2+1=0 の根
判別式 D=-1 ＜0
よって u,vは虚根であり、整数ではない。
(4-9)の分母から Z＞有限値において
Z=4n u=-3n のときだけ |-v/Q/Z|は大きくなり
それ以外では１以下で C＝0でなければならなくなると証明できると問題３から推測される。
ここでは、少しサボって，その証明はせず、予測が正しいか 計算機でしらべた。
下表は Z≦１００までをPCで調べた結果のうち、
|-v/Q/Z|＞0.375以上のものを一覧にした表である。
予測どおり Z≦１００ における唯一の解
Z=5 u=-4 v=234 が含まれている。
また Z≧１２ においては Zが４の倍数で
u=-3Z/4の場合のみがリストアップされている。
最後に Z=4n u=-3n ｚ＞１２ の場合には解が無いことを証明する。
(4-9)にこれらを代入し整理すると、
-v= (16n2+1)n(11−16n2)/(80n2−1)
(a) nと (80n2−1)は互いに素
(b) (16n2+1) と (80n2−1)はs互除法で
(16n2+1) と -6＝−２×３
16n2+1 は奇数なので 2の約数は無い
３の倍数かどうかは n2+1 mod 3 で考えればよく
n=0,1,2 に対して 1,2,2であって、３の倍数ではない。
よって(16n2+1) と (80n2−1)は互いに素
(c) (-16n2+11) と (80n2−1)はs互除法で
(-16n2+11) と -54＝−２×３3
-16n2+11 は奇数なので 2の約数は無い
３の倍数かどうかは -n2+2 mod 3 で考えればよく
n=0,1,2 に対して 2,1,1であって、３の倍数ではない。
よって(-16n2+11) と (80n2−1)は互いに素
また 分母は１ではない。
従って，分子は分母の倍数で無く、ｖは整数ではない。
以上から (4-1)の解は
Z＝５ X=1 Y=239 のみである（らしい）。
【問題４感想】
ちゃんとした証明は、疲れたのでパス。
機会があれば別ルートを目指すつもり。
◆出題者のコメント
かなり遅くなってしまいましたが，皆さん解答ありがとうございました。
まず問題1については，皆さん異論はないと思います。
次に問題2についてですが，自由な発想をしてもらうために，かなり漠然とした問題設定をしてしまいました。
Y.M.Ojisanさんの解答はもちろん正解ですが，ご自身もおっしゃっているように，「すべての」解を具体的に求めることができないという難点があるでしょう。
そこで，問題2を以下のように改めたいと思います。
そのために，まず次のように定義します。
定義.
正の整数aに対して，整数列(un(a)), (vn(a)) (n∈Z)を次のように定義する。
un(a)＋vn(a)√d＝(a＋√d)n (n∈Z)
ただし，d＝a2＋1とする。
このとき，次の問題に挑戦してみてください。
問. 正の整数x, y, z (x＜y)が方程式
| Arctan( | 1 x | )+Arctan( |
1 y | )＝2Arctan( |
1 z | ) |
を満たすための必要十分条件は，ある正の整数aおよびnが存在して
x＝u2n-1(a), y＝u2n+1(a), z＝v2n(a)
と表されることであり，また方程式
| Arctan( | 1 x | )−Arctan( |
1 y | )＝2Arctan( |
1 z | ) |
を満たすための必要十分条件は，ある正の整数nが存在して
x＝u2n-1(1), y＝u2n+1(1), z＝u2n(1)
と表されることであることを示せ。
さて，残るは問題3および4ですが，私が用意していた解法も基本的にY.M.Ojisanさんと同様の場合分けに基づいています。
問題3,4いずれも同様の方針ですので，以下では問題3についてだけ言及したいと思います。
まず，この話題に関して知られている定理を一つ述べておきます。
定理1.1（Strmer）.
整数k, m, n, x, yに対して，不定方程式
| k Arctan 1＝m arctan( | 1 x | )＋n arctan( |
1 y | ) |
は本質的に次の4つの解のみを持つ。
| Arctan 1＝Arctan( | 1 2 | )+Arctan( |
1 3 | ), |
| Arctan 1＝2Arctan( | 1 2 | )-Arctan( |
1 7 | ), |
| Arctan 1＝2Arctan( | 1 3 | )+Arctan( |
1 7 | ), |
| Arctan 1＝4Arctan( | 1 5 | )-Arctan( |
1 239 | ), |
それから，補題を一つ用意しておきます。
補題1.2.
正の整数kに対して，0でない整数x, y, zが方程式
| (1.1) Arctan( | 1 x | )+Arctan( |
1 y | )＝k Arctan( |
1 z | ) |
を満たすならば，ある互いに素な整数a, bが存在して，次が成り立つ。
(1.2) a(x＋i)(y＋i)＝b(z＋i)k. （iは虚数単位）
| さらに，ある整数0≦e≦ | k 2 | に対して，a=2eと表される。 |
略証.
α＝(x＋i)(y＋i)(z＋i)-k∈Q(i)とおくと，
(1.1)よりargα∈πZであるから，αは有理数である。
よって，(1.2)が成り立つ。
今，奇素数pがaを割り切るとすると，Z[i]の一意分解性より，
pはz＋iを割り切ることになり矛盾。
したがって，a=2e (e≧0)と表されるが，
e＞k/2とすると，再びZ[i]の一意分解性より，2がz＋iを割り切ることになり矛盾。
| よって，e≦ | k 2 | となる。 |
また，Taylorの定理より次が成り立つことに注意してください。
補題1.3.
任意の実数0＜t＜1および整数n≧0に対して次の不等式が成り立つ。
| Arctan t ＜t− | t3 3 | + | t5 5 | -...＋ | t4n+1 4n+1 | , |
| Arctan t ＞t− | t3 3 | + | t5 5 | -...− | t4n+3 4n+3 |
これで準備ができました。
【問題３の解答】
まず定理1.1より，x≧2, z≧x＋1≧3としてよい。
また補題1.2より，ある整数a, bが存在して
a(x＋i)(y＋i)＝b(z＋i)3, 1≦a≦2.
両辺の実部および虚部を比較すれば，
(1.3a) a(xy−1)＝b(z3−3z),
(1.3b) a(x＋y)＝b(3z2−1).
特に(1.3b)より，
| |y|＝| | b(3z2−1) a | −x| |
| ≧ | |b|(3z2−1) a | −x |
| ＞ | 3z2−1 2 | −z |
| ＞z2. |
今，z≦3x−1と仮定すると，
| Arctan( | 1 x | )+Arctan( |
1 y | )-3Arctan( |
1 z | ) |
| ＜Arctan( | 3 z＋1 | )+Arctan( |
1 z2 | )-3Arctan( |
1 z | ) |
| ＜ | 3 z＋1 | + |
1 z2 | -3( |
1 z | - |
1 3z3 | ) |
| ＝ | -(2z2−2z−1) z3(z＋1) |
| ＜0 となり矛盾。 |
一方，z≧3x＋1と仮定すると，
|y|＞z2＞3x(3x＋1)であるから，
| Arctan( | 1 x | )+Arctan( |
1 y | )-3Arctan( |
1 z | ) |
| ＞Arctan( | 1 x | )−Arctan( |
1 3x(3x＋1) | )-3Arctan( |
1 3x＋1 | ) |
| ＞ | 1 x | − |
1 3x3 | - |
1 3x(3x＋1) | −3( |
1 3x＋1 | ) |
| ＝ | 2x2−3x−1 3x3(3x＋1) |
| ＞0 となり矛盾。 |
最後に，z＝3xと仮定すると，(1.3)より，
1≡(xy−1)(3z2−1)＝(x＋y)(z3−3z)≡0 (mod x)
となり矛盾。
以上で，題意を満たすx, y, zが存在しないことが示された。
最後にコメントですが，「エレガント」かどうかは別として，多少短くはなったでしょうか。
しかし，内容をよく見てもらうと分かるように，いずれも本質的にRの大小関係（位相的性質）を用いています。
そもそも私がこの問題を投稿した理由の一つは，これを純粋に代数的に示すことができないかという点でした。
残念ながら，いまだ純代数的な証明は見つかっていないので，引き続き情報をお待ちしています。