４
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【答え】
| 半径は | ４ | 。 |
２次元の場合、どの２点間の距離も最大値１になるのは３点までで４点以上はあり得ない。
よって、どの２点間の距離も１である３点だけを考えれば十分である。
２次元なら、辺の長さ１の正三角形に外接する円の半径なので
 ３ | 。 |
３次元の場合、どの２点間の距離も最大値１になるのは４点までで５点以上はあり得ない。
よって、どの２点間の距離も１である４点だけを考えれば十分である。
３次元なら、辺の長さ１の正四面体に外接する球の半径なので
４ | 。 |
◆愛知県 juin さんからのコメント。
Footmarkさんの解答について
２次元の場合
| 点が３つの場合、半径 | ３ | の円に入ると思います。 |
| しかし、４つ目の点がその円の中心から | ３ | 以内にあることが理解できません。 |
３次元の場合
| 点が４つの場合、半径 | ４ | の球に入ると思います。 |
| しかし、５つ目の点がその球の中心から | ４ | 以内にあることが理解できません。 |
◆山梨県 Footmark さんからのコメント。
２次元でも３次元でも同じですが、わかり易い２次元から説明します。
２点しかないのなら、明らかに２点の中点を中心にした半径１／２の円内にすべての点が含まれます。
ところが、辺の長さ１の正三角形の頂点に３点があると、どの２点の距離も１以下なのに半径１／２の円ではすべての点は収まりません。
３点の場合は、このようにどの２点の距離も最大値１になるときが円も最大となり、
| 解答で示したように円の半径は | ３ | は必要です。 |
では、４点以上の場合はどうでしょう。
| ３点での最大円(半径 | ３ | )がさらに大きくなるでしょうか？ |
何故なら、４点目以降の残りのすべての点は、図のように元の３点によるルーローの三角形の内部(黄色部分)になければなりません。
（ルーローの三角形の外部にも点が存在すると、元の３点の中の少なくとも１点とは距離が１を超えてしまいます。）
| ですから、それより大きい正三角形の外接円(半径 | ３ | )の外では |
| 結局、すべての点は半径 | ３ | の円内にあることになります。 |
| ３次元なら、４点での最大球は半径 | ４ | であることは容易に理解できます。 |
| ５点以上なら、４点での最大球(半径 | ４ | )がさらに大きくなるでしょうか？ |
二次元がルーローの三角形なので、三次元ではさしずめルーローの四面体と表現することにします。
これは、正四面体の各頂点を中心に他の３頂点をすべて含む４つの球面でできた四面体です。
５点目以降の残りのすべての点は、元の４点によるルーローの四面体の内部になければなりません。
（ルーローの四面体の外部にも点が存在すると、元の４点の中の少なくとも１点とは距離が１を超えてしまいます。）
| ですから、それより大きい正四面体の外接球(半径 | ４ | )の外では |
| 結局、すべての点は半径 | ４ | の球内にあることになります。 |
２次元の場合、どの２点間の距離も最大値１になるのは３点までで４点以上はあり得ない。
よって、どの２点間の距離も１である３点だけを考えれば十分である。
３次元の場合、どの２点間の距離も最大値１になるのは４点までで５点以上はあり得ない。
よって、どの２点間の距離も１である４点だけを考えれば十分である。
解答の中で、上のように表現した理由はここにあります。
◆愛知県 juin さんからのコメント。
Footmarkさんの解答について
２次元の場合
平面上の３点が１辺の長さ１の正三角形をつくっていれば、残の点もルーローの三角形内にあることはわかります。
問題はそうなっていないとき、
| 半径 | ３ | の円に点がおさまるかということです。 |
４点A,B,C,Dがある場合を考えます。
A,Bの距離を１とし、Cがルーローの三角形の曲線上にあり、しかも頂点にない場合を考えます。
このとき４つめの点は、ABを１辺とする正三角形に外接するルーローの三角形の外にあってもよいのです。
| この場合にも半径 | ３ | の円におさまるかというのが疑問です。 |
◆大阪府 macsyma2e さんからの解答＆コメント。
もとの集合をXとし、
X⊂R2 and |X|≧3 の場合の十分性を述べます．
まず、異なる任意の3点A,B,C∈Xに対して、
| A,B,Cの全てを含む半径の長さ＝ | 1 | の閉円板（以下、円） |
| △ABC（退化してもよい）の最大角の大きさが | π 2 | 以上π以下の場合、 |
| その対辺を直径とする円は3点を含み、半径の長さ≦ | 1 2 | ． |
△ABCが鋭角三角形の場合、
外心をPとおくと、Pは△ABCの内部なので、
| たとえば∠APB≧ | 2π 3 | 、つまり∠PAB≦ | π 6 | としてよく、 |
| AP× | 2 |
≦ | AB 2 | ≦ | 1 2 | ．□ |
上のことは、 Xの各点を中心とする
| 半径の長さ＝ | 1 | の円をA(1),...,A(n)とおくと、 |
と換言出来ます．
ところが、凸解析でよく知られた定理（Helly）から
3個以上の空でない凸集合 A(1),...,A(n) について、
任意のi,j,kに対し、A(i)∩A(j)∩A(k)≠空集合
ならば、A(1)∩...∩A(n)≠空集合
なので、上記のA(1)∩...∩A(n)の任意の点を中心とする
| 半径の長さ＝ | 1 | の円は、Xを含んでいます． |
【ひとこと】
Hellyの定理の証明は、凸一次結合の性質と集合の個数についての帰納法から得られます．
＞ Footmarkさん
十分性の考察において、正三角形が利用出来るのは何故でしょう．
任意の３点からの帰着方法をご案内頂けますか？
◆山梨県 Footmark さんからのコメント。
私にとっては当たり前に思えるので、なかなかうまく説明ができず申し訳ありません。
3点でまず三角形を形成させてから４点目以降を考察した説明が、かえって解り難くしたかもしれません。
２次元で説明します。
まず、すべての２点間の距離のなかで最大のものを採ります。
仮にその距離をＲとします。
そこで、半径Ｒの３つの弧でできるルーローの三角形を作成します。
すると選ばれた２点は３頂点の内の２頂点にある筈です。
さらに、残りすべての点も同一平面上に書き入れるものとします。
すると、距離や方向がどうであっても、すべての点はルーローの三角形の内部にある筈です。
何故なら、そうでなければ最大の距離を採った前提に矛盾するからです。
| このとき、このルーローの三角形の外接円の半径は | Ｒ | です。 |
| ０＜Ｒ≦１ ですから、最大の時の外接円の半径は | １ | です。 |
同様に、本問である３次元でのすべての点は半径１の４つの球面によるルーローの四面体の内部にあります。
よって、求める球の半径は
| この四面体の外接球の半径ですから | ４ | になります。 |
>macsyma2e さんへ
数学専門家ではないので「Hellyの定理」とか「凸一次結合」とかいった言葉はまったく初耳でした。
私の場合、粗末であってもその都度自分なりに発見した解法を用いるのが常です。
そのため問題に対する常套的手法でない場合も多々あります。
でも、とりあいず二次元の答えは正解のようなので、ひとまず安心しました。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
Footmarkさんの証明について、
２次元の場合、最終解答に対する反例ではありませんが、
対角線の長さが１である正方形ないし正５角形の頂点が
| 半径は | １ | の円内であると言えるのでしょうか｡ |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【２次元の場合の初等的解答】
背理法によります。
ある平面上の点群があって、
| これを包む最小の円の半径ＲがＲ＞ | １ | であるとします｡ |
このとき少なくともこの円上に３点があると言えます。
∵円上の点が１点以下の場合、明らかにもっと小さな円で包む事ができます。
円上の点が２点の場合それは、直径を示す点でなければなりません。
| 従って半径は | １ ２ | でなければならず仮定と矛盾します。 |
よって、円上の点の数は３以上です。
| 以上より、半径Ｒ＞ | １ | 上に３点以上の点があって、 |
| まず一点を考えると、Ｒ＞ | １ | で点間距離１以下の条件より |
つまり第２の点は第１の点の両側１２０度未満の位置にのみ存在可能です。
従って、この弦上で１以下の距離を考えるときは円周にそって１２０度以下の距離を考えれば良く、一次元での点の分布範囲の問題に還元できます。
結局、点群は円上の１２０度以下の弦上にのみ存在していなければなりません。
これはもっと小さな円で全体を包める（下図）ということですから、仮定と矛盾します。
| よって、Ｒは | １ | 以下です。 |
【３次元の場合】
２次元同様 表面に直径が２次元問題相当で１２０度以上の穴があいた球殻上の４個以上の点の分布の問題に還元され、実は半球より小さい、直径が２次元問題相当で１２０度以内の範囲に分布していなければならず、Ｒはもっと小さくできるという矛盾に導けると推定されます。
◆山梨県 Footmark さんからのコメント。
【Y.M.Ojisan さんの質問に対して】
＞対角線の長さが１である正方形ないし正五角形の頂点が半径は１／√３ の円内であると言えるのでしょうか。
| 結論から述べると、この時の半径は | １ | 未満ですから、 |
| 当然半径 | １ | の円内にあると言えます。 |
１が許される２点間の距離の最大値ですから、正ｎ角形では最長の対角線の長さが１ということになります。
また、どんな正ｎ角形も円に外接しますから、
ｎが偶数なら最長の対角線は外接円の直径となり
| 半径は | １ ２ | です。 |
ｎが奇数ならｎが大きくなるほど最長の対角線は外接円の直径に近づき
| 半径は | １ ２ | に近づきます。 |
最長の対角線を外接円の弦と考えると、同じ長さの弦が外接円の中心から遠いほど外接円は大きい筈です。
ですから、正多角形において最長の対角線が１である場合では正五角形の外接円が最大です。
ところが、正五角形の最長の対角線よりも辺長１の正三角形の各辺の方が外接円の中心から離れています。
それ故、最長の対角線が１であるような正多角形では
| 外接円の半径は | １ | 未満です。 |
ところで、３点が正三角形の頂点ならすべての点を含む円の半径は
| １ | は必要であることは既に示しました。 |
| ですから、半径が | １ | より小さい場合では反例とはなりません。 |
添え図より判断するに、
＞対角線の長さが１である正方形ないし正五角形の頂点が、半径１の３つの弧でできたルーローの三角形内にあると言えるでしょうか。
の誤述であると仮定します。
| 最大円(半径 | １ | )が必要となる時はルーローの三角形内にあると言えますが、 |
どのような３点であろうと、その３点が辺長１の正三角形を形成するなら、
| 半径 | １ | の最大円が必要になります。 |
その時その３点は円周上にあり、それ以外の点はその３点を頂点とするルーローの三角形の内部(周上も含む)にあります。
（このルーローの三角形の内部にあるどのような２点も距離は１以下です。）
（以下は証明ではありません。）
先のコメントでも示したように２点しかない場合は
| 全ての点を含む円の半径 | １ ２ | で十分です。 |
そこで、長さ１の弦と、その弦の両端からの距離がいずれも１以下である１点とでできる三角形を考えてみます。
三角形の外接円の中心が三角形の外部にある時は、この三角形は弦が直径となる半円の内部にあります。
| ですから、全ての点を含む最小円の半径は | １ ２ | です。 |
三角形の外接円の中心が三角形の内部にある時は、外接円の半径Rは明らかに、
| １ ２ | ＜Ｒ≦ | １ |
です。 |
先の結果とこれらのことより、点の数が複数なら、
| 全ての点を含む円の半径は | １ ２ | 以上 | １ |
以下です。 |
ですから、点の数や位置により異なりますが、どのようなものであっても
| 半径 | １ | の円なら全ての点を含みます。 |
| また、半径 | １ | 未満の円なら同じ条件を満たせず不十分です。 |
【Y.M.Ojisan さんの証明について】
Y.M.Ojisanさんの証明の論法を要約すると以下です。
| ● R＞ | １ | の円なら、どのような円も縮小できる。 |
| ● 縮小された円ならR＞ | １ | と矛盾する。 |
| ● 縮小された円がR＞ | １ | でないなら、R≦ | １ | である。 |
問題は上の２番目です。
Y.M.Ojisanさんの文章では
＞これはもっと小さな円で全体を包めるということですから、仮定と矛盾します。
どうして仮定と矛盾すると言えるのでしょうか？
| 元々、R＞ | １ | の仮定しかないので、その円が縮小できたからと言って |
| 「R＞ | １ | ではない」とは言えないと思います。 |
| ですから、R≦ | １ | であるとは結論できません。 |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
Footmarkさんの御指摘の２点はいずれも同じ論点ですのでまとめて回答致します。
Ｒの持つ重要な性質は最小値であるということです。
極論例を踏襲すれば、「Ｒ＝１００は最小値」であると言っておきながらＲ＝９９が存在すれば１００は最
小値でなかったわけです。
よって、１より大きいＲは最小値にはなりえないわけですから、Ｒは少なくとも１以下といえます。
◆山梨県 Footmark さんからのコメント。
【Y.M.Ojisan さんの証明について】
述べたいことが旨く伝わっていないようなので、以下に詳しく説明します。
| ● R＞ | １ | の円なら、どのような円も縮小できる。 |
| ● 縮小された円ならR＞ | １ | と矛盾する。 |
| ● 縮小された円がR＞ | １ | でないなら、R≦ | １ | である。 |
| 仮に上の1番目が真ならRは限りなく | １ | に近づくか、 |
| あるいは | １ | 以下になるかのどちらかです。 |
| 何故なら縮小された円が仮にR＞ | １ | であるなら、 |
| 再帰的に1番目に戻ってさらに縮小できるからです。 |
仮に1番目が真としても２番目が成立するとは限らないことは、以下の反例で理解できると思います。
| 現半径と | １ | との平均の半径に円を縮小させても、 |
| ● R＞ | １ | の円なら、どのような円も縮小できる。 |
| ● 縮小された円ならR＞ | １ | と矛盾する。 |
分りやすい反例なら、
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
下記(1)の説明不足であるという御指摘の趣旨ならＹｅｓです。
(1) 証明の冒頭にあるように、Ｒは少なくとも３点を通過しています。
従って、点の数をｎとするとその種類は高々ｎＣ３です。
| よって御指摘の限りなく | １ | 以上に近づくケースは排除できます。 |
◆茨城県 えいじ さんからのコメント。
山梨県 Footmark さんからの2回目の回答に対するコメント。
(問題から離れますが、新たな問題の発生)
Footmarkさんは、ルーローの三角形の、三次元への拡張の｢ルーローの四面体｣に言及していますが、そのルーローの四面体を実際に製作して、インターネット上で発表した人が、2名います。
・岩手の高校の数学教師のみやじさんの<取れたて通信>の中
『http://www25.tok2.com/home/toretate/d020103.html』
・YPC横浜物理サークルの車田浩道さん
『http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/8494/NEWS/ypc145/ypc145.htm#ルーローの四面体』
ところが、このルーローの四面体が｢定幅でない｣事が、同じ方々から発表!
『http://www25.tok2.com/home/toretate/d020104.html』
『http://www2.hamajima.co.jp/~tenjin/ypc/ypc021.htm』
約2.5％膨れていることが判ったのです。
ゆえに、ルーローの四面体の内部の点同士でも、距離1より大なる、点の組があることになります。
(但し、これはFootmarkさんの回答への反例にはなりません)
ここで問題です。
ルーローの四面体を｢定幅に｣改良できないでしょうか?
不可能でしょうか?
私は、答えを知りません。
上記の２名も解答を得ていないようです。
◆山梨県 Footmark さんからのコメント。
えいじさんのコメントに対するコメントです。
「ルーローの四面体は定幅でない」
最初は、そんな馬鹿なと思いつつ紹介されたＵＲＬをすべて覗いてみました。
なるほど、そのようですね。
興奮と感動を覚えずにはいられませんでした。
えいじさん、ありがとうございます。
すると、定幅四面体って一体どんな形になるんでしょうね。
とても興味があります。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
定巾の立体として球でなければよいだけなら、ルーローの三角形の回転体があります。
栗みたいな形。
さらに定巾の左右対称図形はルーロー三角形を単に太らせただけ以外にも無限にありますから、何かできるかも。