◆兵庫県の大学生 yabさんからの解答。
問題を、
「3で割ったときaあまり、5で割ったときbあまり、７で割ったときcあまる1以上105以下の自然数nを求める」とします。
なお、以下ででてくるアルファベットはすべて整数をあらわすものとします。
「解答1」
Generate and Testで解く。
つまり、1から105までの整数を順番に生成して、条件に合ったものを答えとする。
コンピューターなら簡単にできます。
for( int n=1; n<=105; n++)
{
if( n%3 == a && n%5 == b) && n%7 == c)
printf( "%d,%d,%d,%d\n", a, b, c, n);
}
わずか５行ですね。
「解答2」
上の方法で、a,b,c,nの一覧を生成すると、以下のような法則を見つけることができます。
法則1：aとbの値が一定の時、cの値が1増える毎にnは15増える。
法則2：aとcの値が一定の時、bの値が1増える毎にnは21増える。
法則3：bとcの値が一定の時、aの値が1増える毎にnは70増える。
以上のことから、n=105χ+70a+21b+15cという仮説をたてることができます。(χは未知の整数)
ここでnを3で割ると、n=3(35χ+23a+7b+5c)+aなので、確かにa余ります。
同様に5で割ると、n=5(21χ+14a+4b+3c)+bなので、b余ります。
7で割ると、n=7(15χ+10a+3b+2c)+cなので、c余ります。
もうちょっと一般的に考えると、
n=(3でも5でも7でも割り切れる整数)χ
+(5と7で割り切れるが、3で割ると1あまる整数)a
+(3と7で割り切れるが、5で割ると1あまる整数)b
+(3と5で割り切れるが、7で割ると1あまる整数)c
と書けます。
nは1以上105以下なので、答えは
n=(70a+21b+15c mod 105)
# 整数論をやるのは久しぶりです。
# 理論的に解くことができず、表を作ってそこから法則を求める経験的な手法に頼ることになってしまいました。
# 自分の数学力のなさを痛感しました。
【コメント】
でましたね！。Ｃ言語。
でも、そこから法則を発見できたというのが大変面白いですね。
ところでこの方法は百五減算と言うそうです。
最初に考えた人は本当にすごいですね。
◆栃木県 阿久津中学校 大橋 治樹さんからの解答。
この問題は、難しかったです。
まず、１−１０５の中の数を３で割って余りが、割り切れるときと１と２のときの数にわけます。
●３で割って余りが１の数
| １ | ４ | ７ | １０ | １３ | １６ | １９ |
| ２２ | ２５ | ２８ | ２２ | ２５ | ２８ | ３１ |
| ３４ | ３７ | ４０ | ４３ | ４６ | ４９ | ５２ |
| ７９ | ５５ | ５８ | ６１ | ６４ | ６７ | ７０ |
| ７３ | ７６ | ８２ | ８５ | ８８ | ９１ | ９４ |
| ９７ | １００ |
●３で割って余りが２の数
| ２ | ５ | ８ | １１ | １４ | １７ | ２０ |
| ２３ | ２６ | ２９ | ３２ | ３５ | ３８ | ４１ |
| ４４ | ４７ | ５０ | ５３ | ５６ | ５９ | ６２ |
| ６５ | ６８ | ７１ | ７４ | ７７ | ８０ | ８３ |
| ８６ | ８９ | ９２ | ９５ | ９８ | １０１ | １０４ |
●３で割りきれる数
| ３ | ６ | ９ | １２ | １５ | １８ | ２１ |
| ２４ | ２７ | ３０ | ３３ | ３６ | ３９ | ４２ |
| ４５ | ４８ | ５１ | ５４ | ５７ | ６０ | ６３ |
| ６６ | ６９ | ７２ | ７５ | ７８ | ８１ | ８４ |
| ８７ | ９０ | ９３ | ９６ | ９９ | １０２ | １０５ |
３で割り、余りが、割り切れるときと１と２のどちらかのとき、上で分けた中の数にあります。
そして、５で割ったときの余りの数であてはまる数と、７で割ったときの余りの数であてはまる数が同じになったもの、それが、相手が思い浮かべた数となるわけです。
例えば、３で割って割り切れる数は上の分けた数の中にある。
そして、５で割って余りが３の数は
３ １８ ３３ ４８ ６３ ７８ ９３である。
７で割って余りが４の数は
１８ ３９ ６０ ８１ １０２である。
同じになった数は１８になる。と、まあこうなるわけです。
どうですか？
【コメント】
この問題はかなり難しい問題だと思ったのですが、なかなかの解答ですね。
よく迫ってくれました。
３で割ったときの余りと５で割ったときの余り、７で割ったときの余りを表にまとめておけば、コンピュータがなくてもその共通部分を探せば、正解が分かりますね。
穴を開けたカードで、行うようにしても面白そうですね。
◆愛知県の中学校２年生 高橋 大志 さんからの解答。
仮に「７３」を考えてみます。
３で割り切れる、１余る、２余る、に１〜１０５をすべて分類すると
●割り切れる ３，６，９，１２，１５ １８，２１，２４，２７ ３０，３３，３６，３９ ４２，４５，４８，５１ ５４，５７，６０，６３ ６６，６９，７２，７５ ７８，８１，８４，８７ ９０，９３，９６，９９ １０２，１０５ ●１余る １，４，７，１０，１３ １６，１９，２２，２５ ２８，３１，３４，３７ ４０，４３，４６，４９ ５２，５５，５８，６１ ６４，６７，７０，７３ ７６，６９，８２，８５ ８８，９１，９４，９７ １００，１０３ ●２余る ２，５，８，１１，１４ １７，２０，２３，２６ ２９，３２，３５，３８ ４１，４４，４７，５０ ５３，５６，５９，６２ ６５，６８，７１，７４ ７７，８０，８３，８６ ８９，９２，９５，９８ １０１，１０４「７３」は「余り１」のグループに入る。
後は同じように考えればよい。
５で割ったときに３余るのは
３，８，１３，１８，２３， ２８，３３，３８，４３， ４８，５３，５８，６３， ６８，７３，７８，８３， ８８，９３，９８，１０３７で割ったときに３余るのは
３，１０，１７，２４，３１， ３８，４５，５２，５９， ６６，７３，８０，８７， ９４，１０１上の結果より、「３で割ったとき１余る」「５で割ったとき３余る」「７で割ったとき３余る」のすべてに当てはまる数は「７３」１つだけとなるので、これが答え。