カレンダー解答

「カレンダーで問題を作ろう」解答

◆広島県　清川　育男さんからの問題

１３日の金曜日は少なくとも毎年１回はあることを説明（証明）してください。

◆大阪府の高校生　あっしー さんからの解答。

●閏年以外の場合

元旦が金曜日の時(1999年)

１月１３日水
２月１３日土
３月１３日土
４月１３日火
５月１３日木
６月１３日日
７月１３日火
８月１３日金
９月１３日月
10月１３日水
11月１３日土
12月１３日月

月曜日・９,12
火曜日・４,７
水曜日・１,10
木曜日・５
金曜日・８
土曜日・２,３,11
日曜日・６

となり、閏年でない場合はどの年にも１３日の金曜日はあります。

●では閏年の場合。

１月１３日水
２月１３日土
３月１３日日
４月１３日水
５月１３日金
６月１３日月
７月１３日水
８月１３日土
９月１３日火
10月１３日木
11月１３日日
12月１３日火

これも全ての曜日がありますね。
よって証明終わり。

◆T.Hirose さんからの解答。

「１３日が金曜日」というのは「１日が日曜日」と同値ですから、「１日の日曜日が毎年あること」を証明すればいいわけです。
元旦から数えて、各月の１日が何日目になるかを数えると次の表のようになります。

　1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月
平年0315990120151181212243273304334
閏年0316091121152182213244274305335

この数字を７で割った余りを計算すると次の表のようになります。

　1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月
平年０３３６１４６２５０３５
閏年０３４０２５０３６１４６

この数字が「曜日のずれ」を表してます。
例えば、平年の年で元旦が月曜日だとしましょう。
すると２月１日は曜日が３つ後ろにずれて木曜日、９月１日は５つずれて土曜日だと分かります。
したがってこの場合は、上の表で数字が「６」となるところ、すなわち４月と７月に「１日の日曜日」すなわち「１３日の金曜日」があることが分かります。

このようにして、元旦の曜日によって順に調べていけばいいわけですが、平年にしろ閏年にしろ、１月から１２月までに０から６までの数字が少なくとも１回は登場してるので、元旦の曜日が何曜日であっても「１３日の金曜日」は最低１回はあります。
したがって「１３日の金曜日」は毎年あります。

ちなみに、元旦の曜日によって「１３日の金曜日」が何回あるかを調べると次のようになります。

元旦の曜日日月火水木金土
平年２２２１３１１
閏年３２１２２１１

したがって「１３日の金曜日」は１年間に最高３回あります。
今年（１９９８年）は２月、３月、１１月の３回ありますから「当たり年」ですね。

【コメント】

　あまり当たりたくはないですが、確かに今年はそうですね。
さすがにエレガントな解答ですね。
やはり世の中はいいことばかりではなくて、一年に一度は不幸な日があるということですか。

【出題者の清川さんのコメント】

「１３日の金曜日」の解答は０〜６があるから少なくとも１回あることの証明にとどまらず、 最高３回あることまで示され、感激しています。
今年が３回ある平年で、タイムリーな問題になりましたね。

◆北海道の中学校３年生　小八兵衛 さんからの解答。

表の解説

(1)・・その月の日数です。
(2)・・その月の１３日が何番目にあたるか示したものです。
(3)・・(2)を７で割った値です。
閏年・・(3)が閏年の場合の値です。
（３月からの(3)に１を足したものです。ただし、７＋１は１とします）

【証明】

(3)（閏年）の値は１月の何日の曜日に、その月の１３日があたるのか、ということも示しています。
そして、(3)（閏年）によると、１〜７のすべてが出ているので、この中には金曜日も含まれているはずです。
よって、１３日の金曜日は少なくとも毎年１回はあります。

証明終わり

◆東京都　Lubyna さんからの解答。

３１％７＝３
３０％７＝２
２９％７＝１
２８％７＝０

平年

　１月１３日を　　　　０　とすると
　２月１３日…　　　　３
　３月１３日…　　　　３
　４月１３日…　　　　６
　５月１３日…８％７＝１
　６月１３日…　　　　４
　７月１３日…　　　　６
　８月１３日…９％７＝２
　９月１３日…　　　　５
１０月１３日…７％７＝０
１１月１３日…　　　　３
１２月１３日…　　　　５
閏年
　１月１３日を　　　　０　とすると
　２月１３日…　　　　３
　３月１３日…　　　　５
　４月１３日…７％７＝０
　５月１３日…　　　　２
　６月１３日…　　　　５
　７月１３日…７％７＝０
　８月１３日…　　　＝３
　９月１３日…　　　　６
１０月１３日…　　　　１
１１月１３日…　　　　４
１２月１３日…　　　　６
両方とも０〜６が１回以上ある。
つまり全ての曜日が存在するため、１３日の金曜日は毎年ある。
あっても３回まで。

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