◆広島県 清川 育男さんからの解答。
プログラムを組んでシミュレーションしてみました。
【問題１】
１の位 ３，９，７，１，３，９，７，１，・・
循環節の桁数は４です。
【問題２】
１０の位 ４，４，０，０，４，４，０，０，・・
循環節の桁数は４です。
１００の位
５，８，０，８，９，０，６，６，３，２，２，４，７，４，８，２，１，６，４，０，５，・
循環節の桁数は２０です。
１０００の位
３，２，４，６，５，６，１，３，・・・・・・・・・・，３，２，４，６，５，６，・・・
循環節の桁数は１００です。
【問題３】
１００００の位
２，７，８，７，２，７，９，４，３，３，５，９，・・，２，７，８，７，・・，
循環節の桁数は５００です。
以上のことが予想されます。
綺麗な規則性があります。
純循環小数と関係がありそうですね。
数学的根拠は解りません。
ａ100=20001，ａ200=40001，ａ300=60001，
ａ400=80001，ａ500=00001，
ａ600=20001，ａ700=40001，ａ800=60001，
ａ900=80001，ａ1000=00001
上記のようになるようです。不思議な気持ちです。
【コメント】
『２乗すると・・Part3』を見ても思うのですが、こういった整数の性質、規則性はなんとも不思議ですね。
小さい桁の場合は、簡単に理由付けもできるのですが、大きい桁の場合は計算してびっくりという感じです。
◆京都府 the king of water gate さんからの解答。
(mod．105)で７乗していくと
00007→23543→21607→72343→
80007→63543→41607→32343→
60007→03543→61607→92343→
40007→43543→81607→52343→
20007→83543→01607→12343→
00007となるので
1の位は7，3の2個の数字の繰り返し
10の位は0，4の2個の数字の繰り返し
100の位は0，5，6，3の4個の数字の繰り返し
1000の位は0，3，1，2の4個の数字の繰り返し
10000の位は
0，2，2，7，8，6，4，3，6，0，6，9，4，4，8，5，2，8，0，1
の20個の数字の繰り返しになる。
Ｎ0＝｛ｎ｜ｎ∈Ｚ，0≦ｎ｝とする。
数列ｘs(s∈Ｎ0)とｐ∈Ｚに対して
s∈Ｎ0，ｔ∈Ｎ0，s≡ｔ(mod．ｐ)
⇔ｘs＝ｘｔとなるとき
ｐを数列ｘsの周期という。
数列ｘsが0でない周期を持つとき、数列ｘsを周期数列という。
周期数列の正の周期で最小のものを基本周期とする。
周期は基本周期の整数倍である。
pow(ｘ，ｙ)＝ｘyとする。
ｎ∈Ｎ0に対して
ｂn＝pow(7，pow(7，ｎ))とすると
ｂ0
＝pow(7，pow(7，0))
＝pow(7，1)
＝7
ｂn+1
＝pow(7，pow(7，ｎ＋1))
＝pow(7，pow(7，ｎ)×7)
＝pow(pow(7，pow(7，ｎ))，7)
＝pow(ｂn，7)
なので
ａn＝ｂn-1となる。
k∈Ｎ0，s∈Ｎ0，ｔ∈Ｎ0とすると
ｇｃｄ(ｂs，10k＋1)＝1
ｇｃｄ(ｂt，10k＋1)＝1
ｇｃｄ(7，4×10k)＝1なので
ｂs≡ｂt(mod．10k＋1)⇔ｂs＋1≡ｂt+1(mod．10k＋1)となる。
このことからｂnは(mod．10k＋1)で周期数列になり
ｂnの10kの位の数字の列も周期数列になる。
ｂnの10kの位の数字の列の基本周期と
ｂnの(mod．10k)での基本周期の最小公倍数は
ｂnの(mod．10k＋1)での周期なので
ｂnの(mod．10k＋1)での基本周期の倍数であ
り
ｂnの(mod．10k＋1)での基本周期は
ｂnの10kの位の数字の列の基本周期と
ｂnの(mod．10k)での基本周期の最小公倍数の
倍数なので
ｂnの(mod．10k＋1)での基本周期は
ｂnの10kの位の数字の列の基本周期と
ｂnの(mod．10k)での基本周期の最小公倍数に
なる。
s∈Ｎ0のとき
pow(7，pow(2，s＋1))
＝pow(2，s＋4)ｃs＋1
ｃs≡1(mod．2)
pow(7，4×pow(5，s))
＝pow(5，s＋2)ｄs＋1
ｄs≡1(mod．5)
pow(7，2×pow(5，s))
＝pow(5，s＋2)ｅs−1
ｅs≡2(mod．5)
となる整数ｃs，ｄs，ｅsがある。
pow(7，pow(2，s＋2))≡1(mod．pow(2，s＋5))であり
pow(7，pow(2，s＋1))≡1(mod．pow(2，s＋5))でないので
pow(7，ｎ)の(mod．pow(2，s＋5))での基本周期は
pow(2，s＋2)になる。
pow(7，4×pow(5，s＋1))≡1(mod．pow(5，s＋3))であり
pow(7，2×pow(5，s＋1))≡1(mod．pow(5，s＋3))でなく
pow(7，4×pow(5，s))≡1(mod．pow(5，s＋3))でないので
pow(7，ｎ)の(mod．pow(5，s＋3))での基本周期は
4×pow(5，s＋1)になる。
7≦kのとき
ｂs≡ｂt(mod．10k＋1)⇔ｂs≡ｂt(mod．pow(2，k＋1))かつ
ｂs≡ｂt(mod．pow(5，k＋1))⇔pow(7，s)≡pow(7，ｔ)(mod．pow(2，k−2))かつ
pow(7，s)≡pow(7,ｔ)(mod．4×pow(5,k−1))⇔pow(7,s)≡pow(7,ｔ)(mod．pow(2,k−2))かつ
pow(7,s)≡pow(7,ｔ)(mod．pow(5,k−1))⇔s≡ｔ(mod．pow(2,k−5))かつ
s≡ｔ(mod．4×pow(5,k−3))⇔s≡ｔ(mod．pow(2,k−5)×pow(5,k−3))これとｂnの(mod．105)での基本周期が20で あることと
ｂ100≡52000007(mod．108)
ｂ500≡60000007(mod．108)
ｂ50≡80361607(mod．108)
ｂ250≡76361607(mod．108)
ｂ1250≡56361607(mod．108)
から
ｂnの105の位の数字の列の基本周期は100
ｂnの106の位の数字の列の基本周期は500
7≦kのとき
ｂnの10kの位の数字の列の基本周期は
25×10k−5となる。