ｙ＝１／
ｘ、ｙ＝−１／
ｘ◆鹿児島県 ともひろ さんからの解答。
【作図方法】
△ＡＢＣにおいて、線分ＡＢの垂直二等分線を引く。
また線分ＡＢの中点を点Ｍとする。
点Ｍを中心、半径をＡＭ（ＢＭ）とする円を描く。
上記の線分ＡＢの垂直二等分線と、この円の交点（三角形ＡＢＣの外側）を点Ｍ’とする。
この点Ｍ’を中心、半径をＡＭ（ＢＭ）とする円を描く。
二つの円の交点を、Ａ’、Ｂ’とする。
ここで、△ＡＭ’Ｍ、△ＢＭ’Ｍは正三角形となる。
線分Ａ’Ｍ・Ｂ’Ｍに平行で、それぞれ点Ａ、点Ｂを通る直線を引く。
線分ＡＢの垂直二等分線との交点をＭ''とする。
ここで、Ａ’Ｍ／／ＡＭ''、Ｂ’Ｍ／／ＢＭ''であるから、
∠ＡＭ''Ｍ＝∠Ａ’ＭＭ’＝60゜、
∠ＢＭ''Ｍ＝∠Ｂ’ＭＭ’＝60゜
ゆえに、∠ＡＭ''Ｂ＝120゜
△ＡＢＭ''の外接円を描く。
線分ＢＣについても同様にして、ＭをＮとして、△ＢＣＮ''の外接円を描く。
△ＡＢＭ''の外接円と、△ＢＣＮ''の外接円の点Ｂ以外の交点をＰ'とする。
線分ＡＰ’、線分ＢＰ’、線分ＣＰ’を引く。
△ＡＢＭ''の外接円内において、
∠ＡＰ’Ｂ＝∠ＡＭ''Ｂ＝１２０゜
△ＢＣＮ''の外接円内において、
∠ＢＰ’Ｃ＝∠ＢＭ''Ｃ＝１２０゜
ゆえに、
∠ＡＰ’Ｃ
＝３６０゜−（∠ＡＰ’Ｂ＋∠ＢＰ’Ｃ）
＝３６０゜−（１２０゜＋１２０゜）
＝１２０゜
したがって、点Ｐ’は求める点Ｐとなる。（作図終わり）
※三角形の外接円は、二辺の垂直二等分線の交点を中心として描くことができます。
点Ａ，Ｂ，Ｃをドラッグして動かしてみてください。
【紙工作的作図方法】
半透明紙に三角形ＡＢＣを描き、それを切り取ります。
別の用紙に円を描きます。中心に印をつけます。
また、半径はそのままで、任意の点から円周上に点1,2,3,4,5,6と番号を付けます。
点１，３，５（点２，４，６でも可）から円の中心に線を引きます。
これを線１，３，５（２，４，６）とします。
先ほどの三角形ＡＢＣの紙を用意して、三角形の頂点が、上記の三本の線に乗るように動かします。
（いつかは乗ります）
三角形ＡＢＣの紙を透けて現れた、円の中心が求める点Ｐです。
●感想
計算が複雑になりますが、
「ＸＹ座標において、
Ｙ軸、
ｙ＝１／ｘ、
ｙ＝−１／ｘ
の直線（関数）上に、点ＡＢＣの座標」
からも考えられます。
これなら求める点Ｐは、原点Ｏが答えです。
用紙に正三角形を書いていて、この方法を思いつきました。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
まず、Aと同じ側に正三角形A1BCを作ります。
正三角形A1BCの外接円のセンターをO1とします。
BCの垂直二等分線と△A1BCの外接円の交差点をA2 (Aの反対側(BCで))。
A2がセンターになる円A2Bを書きます。
BCの垂直二等分線と円A2Bの交差点をA3。(Aの反対側)。
同じように点B3を作ります。
AA3とBB3の交差点は求める点Pとなります。
点Ａ，Ｂ，Ｃをドラッグして動かしてみてください。
◆大阪府 大野 泰生 さんからの解答。
三角形ＡＢＣの外側に以下のふたつの正三角形を作図する。
一辺がＡＢである正三角形ＡＢＤ
一辺がＢＣである正三角形ＢＣＥ
この二つの正三角形の重心を作図しそれぞれをＦ，Ｇとする。
Ｆを中心として半径ＦＡ（＝ＦＢ）の弧ＡＢを書く。
Ｇを中心として半径ＧＢ（＝ＧＣ）の弧ＢＣを書く。
この交点が、件の点Ｐである。
理由。書いた二つの弧はいずれも中心角２４０度の弧ゆえ、
円周角は１２０度に保たれる。したがって、
角ＡＰＢ＝角ＢＰＣ＝１２０度が保証されている。
よって角ＣＰＡも１２０度。
点Ａ，Ｂ，Ｃをドラッグして動かしてみてください。
◆静岡県 ヨッシー さんからのコメント。
これは、最短シュタイナー問題に関する問題ですが、
三角形の１つの角が１２０°以上になると、存在しません。
存在する範囲内では、大野泰生さんの方法が一番スッキリしていると思います。
◆東京都 浜田 明巳 さんからの解答。
ＡＢを対角線とし，
１辺の長さがＡＢ／である菱形ＡＯ1ＢＤを作図する．
ただしＯ1は，直線ＡＢに対し，Ｃと反対側にとる．
具体的には，ＡＢを辺，Ａ，Ｂを頂点として３０°を４個作図し，
交点をＤ，Ｏ1とすればよい．
このとき，∠ＡＤＢ＝１２０°となる．
次に，Ｏ1を中心，半径Ｏ1Ａの円を作図する．
すると，ＡＢに対して，Ｄと同じ側にある弧ＡＢ上の任意の点をＰとすると，円周角の性質から
∠ＡＰＢ＝∠ＡＤＢ＝１２０°
同様に辺ＢＣに対しても円Ｏ2を作図する．
２円Ｏ1，Ｏ2の交点のうち，Ｂ以外の点が求める点Ｐである．
なぜなら，このとき∠ＣＰＡ＝１２０°となることが明らかだからである．
しかし，内角の１つが１２０°になった場合，このような点は存在しなくなる．
極限として考えられるのは，１２０°の内角の頂点をＰとすることだろう．
さらに，内角の１つが１２０°をこえる場合，このような点は存在しない．
このことがらをチェックするVisual Basic(melt.exe 自己解凍)のプログラムを作ってみた．
急いで作成したものなので，荒削りなものではあるが，
内角が１２０°前後の場合の様子が分かり，それなりに価値のあるもののはずである．
◆林 克巳 さんからの解答。
図のように点Ｐを通り、どの２直線も60度をなすように三本の直線を引きます。
それぞれの直線上に点Ａ，Ｂ，Ｃをとり三角形ＡＢＣの内部に点Ｐがくるようにします。
点Ｐは三角形ＡＢＣの第６心になります。
点Ｂ，Ｃは固定し、点Ａをその直線に沿って点Ｐに向かって移動させます。
それにしたがって三角形ＡＢＣも移動します。
点Ａと点Ｐが一致したとき三角形の角Ａは１２０度になります。
更に点Ｐを通過して移動すると角Ａは１２０度を越えます。
この三角形ＡＢＣの第６心をこの点Ｐとするのがよいでしょう。
そこで問題を次のように修正するのがよいでしょう。
「三角形ＡＢＣと１点Ｐをとり、その点Ｐと各頂点を通る直線（線分でない）を引いたとき、任意の２直線が全て角６０度（あるいは全て１２０度でもよい）をなす。
ただし一つの頂点が１２０度のときは点Ｐはその頂点に一致する。」
このようにすればどんな三角形でもただ一つの点Ｐが定まります。
これを「角心」と呼ぶのはどうでしょうか。
◆神奈川県 いわし さんからのコメント。
林さんのおっしゃる点は、一般には２個あって、それぞれ第１、第２フェルマー点と呼ばれています。
http://mathworld.wolfram.com/FermatPoints.html
を参照してください。
（正三角形なら無限個！）
