◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
点Bをｘｙ座標の原点に、BCをｘ軸に、BCをｙ軸にとる。
∠BCP＝αにとる。
【問題１】
直線DHの式はｙ-２＝cotα(ｘ-３)でｙ切片は２-３cotα。
これと点ｐのｙ座標を足して２で割れば線分PHの垂直２等分線のｙ切片がわかり、
| 式はｙ＝cotαｘ＋ | 2-3cotα＋3tanα 2 | 。 |
これと辺PBの垂直２等分線ｙ＝3/2 tanαの交点が円の中心であり、
| 座標は( | 3 2 | - tanα, | 3 2 | tanα)。 |
よって
| S π |
＝ | 9 4 | + | 13 4 | tan2α - 3tanα |
| ＝ | 13 4 | (tanα - | 6 13 | ) | 2 | + | 81 52 |
最小値を与えるαは
| α = arctan ( | 6 13 | )＜ arctan ( | 2 3 | )、 |
| Sの最小値は | 81 52 | π。 |
【問題２】
点Pをとおり直線DHと平行な直線は
ｙ-２＝ cotα(ｘ-３+２cotα)、ｙ切片は 2-３cotα+2cot2α。
これと直線DHのy切片２-３cotαを足して２で割れば線分PHの垂直２等分線のｙ切片がわかり、式は
(1) ｙ＝cotαｘ＋２-３cotα＋cot2α。
線分BPの中点は(3/2-cotα, 1 )なので線分BPの垂直2等分線の式は
| ｙ-1=- | ( | 3 2 | -cotα | )( | ｘ- | 3 2 |
+cotα | ) |
| (2) ｙ＝- | ( | 3 2 | -cotα | ) | ｘ+ | ( | 3 2 |
-cotα | ) | 2 | + 1 |
円の中心である(1)と(2)の交点は
| ( | 5 6 | ，cot | 2 | α- | 13 6 |
cotα＋2 | ) | ＝ | ( | 5 6 | ， | ( | cotα- | 13 12 | ) | 2 | ＋ | 119 144 | ) |
よってSの最小値を与えるαは
| α = arctan ( | 12 13 | )＞ arctan ( | 2 3 | )、 |
Sの最小値は
| { ( | 5 6 | ) | 2 | + ( | 119 144 | ) | 2 | } π = | 28561 20736 | π |
◆macsyma2e さんからの解答。
簡単の為、角とその大きさ、線分とその長さの各記号を混用します．
【問題１】
佑DH = t とすると、猶CB = t、
| 佑PB = | π 2 | - t、CH = 2×sin(t)、 |
△CBH に余弦定理を用いて、
BH2 = 9 + 4×(sin(t))2 - 12×sin(t)×cos(t) です．
| よって、△BHP に正弦定理を用いれば、4× | S π |
は |
BH2
|
| =13×x2 - 12×x + 9 |
| =13× | ( | x - | 6 13 | ) | 2 | + | 81 13 |
です．ここで、x = tan(t) であり、
| 6 13 | が定義域 0＜x＜ | 2 3 | に属するので、 |
| Min.( S ) = π× | 81 52 | ． |
【問題２】
| 優CH = t とすると、猶CB = | π 2 | - t、 |
△CBH に余弦定理を用いて、
BH2 = 9 + 4×(cos(t))2 - 12×sin(t)×cos(t)、
△ABP に三平方定理を用いて、
BP2 = 13 - 12×tan(t) + 4×(tan(t))2 です．
更に、唯PH = u とすると、
| BP×sin(u) = 3×sin | ( | π 2 | - t | ) | であることに注意して、 |
| △BHP に正弦定理を用いれば、4× | S π |
は |
| BH2 (sin(u))2 |
| = | BH2 × BP2 ( 3×cos(t) )2 |
| = ( 4×x2 - 12×x + 13 )× | 9×x2 - 12×x + 13 9 |
( 12×x - 13 )×( 6×x2 - 13×x + 12 )
と同符号ゆえ、| 定義域 0＜x＜ | 3 2 | に対して、Min.( S ) = π× | 28561 20736 | ． |
【ひとこと】
工夫のない解答になってしまいました．◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
【問題１】
ＤＨとＢＣの交点をＦとします。
| 円の面積= | πPF2 4 | で、PF2の比例になるため、 |
| HC=ｙ、PC=ｘとするとCF= | xy 3 | ，BF= | 9-xy 3 |
PB=√(x2-9)がわかり、
PF2
=PB2+BF2
| =ｘ2-9+ | (9-xy)2 9 |
| DF2= | ( | xy 3 | ) | 2 | +4, | ( | CF HC | ) | 2 | = | ( | DF DC | ) | 2 | のため、 |
| ( | xy 6 | ) | 2 | +1= | x2 9 |
| つまり y2= | 4(x2-9) x2 | です。 |
| y2= | 4(x2-9) x2 | をPF2の式に代入すると |
9PF2
=13(x2-9)-36√(x2-9)-36+13*9
| =13(√(x2-9)- | 18 13 | ) | 2 | +81- | 324 13 |
最小値のとき、
| √(x2-9)= | 18 13 | でPF2= | 81 13 |
| つまり S= | 81 52 | π |
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
動点Ｐの定義より、Ｈは長方形ＡＢＣＤの辺を含まない内部にあり、直線ＤＨは辺ＢＣと必ず交わります。
そこで交点をＱとすると、四角形ＰＢＱＨの対角の和はπになります。
よって、Ｑも△ＰＢＨの外接円の円周上にあり、ＰＱは円の直径に当たります。
△ＱＨＣは、△ＰＢＣとも△ＱＣＤとも相似ですから、△ＰＢＣと△ＱＣＤも相似です。
| ∴ ＰＢ=Ｘ とすると ＱＣ= | 2 3 | *Ｘ |
| ∴ ＢＱ=3− | 2 3 | *Ｘ |
| (２Ｒ)2=Ｘ2＋ | (3− | 2 3 | *Ｘ | ) | 2 |
| これを解くと、x= | 18 13 | の時、Ｒ2の最小値 | 81 52 | を得ます。 |
| よって求める円の最小面積は、 | 81 52 | π となります。 |
【問題２】
図のように、Ｂより直線ＰＣに下ろした垂線の交点をＱとし、３点Ｂ,Ｐ,Ｈより得られる円の半径をＲとすると、正弦定理より、
| ＢＨ sin(∠ＢＰＨ) | ＝ | ＢＨ・ＢＰ ＢＱ | ＝２Ｒ |
| ∴ Ｒ2＝ | (ＢＰ)2(ＢＨ)2 ４(ＢＱ)2 |
ＰＤ＝Ｘ とすると、ピタゴラスの定理より
(ＢＰ)2
＝(ＡＰ)2＋(ＡＢ)2
＝(３ーＸ)2＋４
＝Ｘ2ー６Ｘ＋１３
Ｈより辺ＢＣに下ろした垂線の交点をＧとすると、
△ＰＤＣと△ＤＨＣと△ＣＧＨは互いに相似なので、
よって、ピタゴラスの定理より
(ＢＨ)2
＝(ＨＧ)2＋(ＢＧ)2
＝(ＨＧ)2＋{３−(ＧＣ)}2
| ＝( | ８ Ｘ2＋４ |
) | 2 | ＋(３− | ４Ｘ Ｘ2＋４ |
) | 2 |
| ＝ | ９Ｘ2−２４Ｘ＋５２ Ｘ2＋４ |
また、△ＣＱＢも△ＰＤＣと相似なので
∴Ｒ2
| ＝ | (ＢＰ)2(ＢＨ)2 ４(ＢＱ)2 |
| ＝ | (Ｘ2−６Ｘ＋１３)(９Ｘ2−２４Ｘ＋５２) １４４ |
| ＝ | ９Ｘ4−７８Ｘ3＋３１３Ｘ2−６２４Ｘ＋６７６ １４４ |
| ＝ | (３Ｘ2−１３Ｘ＋２４)2＋１００ １４４ |
上式より、Ｒ2 の最小値は明らかに
| Ｘ＝ | １３ ３ |
／２＝ | １３ ６ |
の時だと分かるので、代入すると |
| Ｒ2＝ | {( | 119 12 | ) | 2 | +100}／144＝ | 28561 20736 |
| Ｘが | １３ ６ |
の時、ＡＰは ３− | １３ ６ |
＝ | ５ ６ |
なので、 |
| ＡＰが | ５ ６ |
の時に円の面積は最小の | ２８５６１ ２０７３６ |
π となります。 |
[ 補足 ]
図の線分ＰＣ上でＨとＱの位置が逆になっても、示した計算には何ら支障はありません。
| Ｘ＝ | １３ ６ |
を (ＢＰ)2 の式に代入すると、ＢＰ＝ | １３ ６ |
を得ます。 |
【問題１】の場合は、直線ＰＱが直線ＡＣと平行になった時、円の面積は最小になります．
この関係は、むしろ【問題１】の方が気付きにくいと思います。