◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
ｘ−ｙ座標で仮に１の木を原点に取り、求める点を求めました。
途中の計算は省略して、結論としてわかったことは以下の通りです。
２の木と３の木を結び、その線分が対角線となる正方形を作り、木のない二つの頂点が、宝のある候補点となる。
１の木がわからないので、左右は相対的となるので、候補点は１点に絞れない。
当然のことですが候補点と２の木、３の木を結んでできる三角形は、直角二等辺三角形です。
以上です。
座標上で考えるのは、便利ですね。正解であればのことですが。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
２の木の座標を(０，０)、
３の木の座標を(２ａ，０) (ａ≧０)とし、
１の木の座標を(ｘ，ｙ) とします。
「１から２に向かって歩数を数えながら歩け。
２の木についたら右へ９０°向きを変え、更に同じ歩数だけ歩け。」
によって、行き着いた点は、
(ｘ，ｙ)を原点周りに９０度回転した点なので、
(−ｙ，ｘ)
「１から３に向かって歩数を数えながら歩け。
３の木についたら左へ９０°向きを変え、更に同じ歩数だけ歩け。」
によって、行き着いた点は
(ｘ，ｙ)を、ｘ方向に−２ａ移動し、
原点周りに−９０度回転し、
ｘ方向に２ａ移動した点であるから、
(ｘ，ｙ)→(ｘ−２ａ，ｙ)→(ｙ，２ａ−ｘ)→(ｙ＋２ａ，２ａ−ｘ)この２点の中点は
｛(−ｙ，ｘ)＋(ｙ＋２ａ，２ａ−ｘ)｝×０．５
＝(ａ，ａ)
よって、宝の位置は、１の木の位置に関係なく一定となる。
答え
「２と３の中間点に棒を立てよ。
２から棒に向かって歩数を数えながら歩け。
棒についたら左へ９０°向きを変え、更に同じ歩数だけ歩け。
そこに宝が埋まっている。」
【コメント】
２と３の木を結ぶ直線を斜辺に持つ直角二等辺三角形の直角の角の頂点ということですね。
出題者の高校生の方によると、この問題を中学生の後輩に解いてもらったところ、初等幾何で解いたそうです。
また、一緒にこの問題を作った友人は軌跡を用いて解いたそうです。
大日本図書 さんのご厚意で、実際に実験できるようになりました。
１のもみの木が動いても、宝の位置が一定であることが分かると思います。
◆愛知県の高校生 ひろ さんからの解答。
ＸＹ平面において、(2)の木を原点にとり、(3)の木へまっすぐＸ軸をとる。
この時(3)の木を (3)（Ａ，０） とする。
仮に(1)の木を (1)（Ｘ，Ｙ）とおくと
(2)の木のクイ U はU（−Ｙ，Ｘ）
(3)のクイ V はV（Ａ＋Ｙ，Ａ−Ｘ）
（∵三角形の合同より）
よってUとVのクイの中点は (1)（Ｘ，Ｙ）に関わらず
| 宝（ | Ａ ２ | ， | Ａ ２ | ）となる。 |
宝 ・ ・ ・ (2)・・・・・・・(3)
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
３本の木の位置を座標で表してみます。
１の木を（ａ，ｂ）
２の木を（０，０）
３の木を（１，０） とします。
２の木を基準にした棒の位置は（−ｂ，ａ）
３の木を基準にした棒の位置は（ｂ＋１，１−ａ）
| その中点は（ | １ ２ | ， | １ ２ | ）。 |
つまりａやｂの値によらず一定！
この座標から判断できる、実際に目的の場所へたどりつく方法は
「２の木から、２の木と３の木の中点まで歩数を数えて歩き、中点までたどりついたら９０度左へ曲がり、同じ歩数だけ歩く」
ということになる、と思います。
図は１の木の配置場所の一例ですが、他のどの場所にあっても２本の棒の座標の書き方は上の通りになるはずです。
座標平面を用いず、普通の図形問題として解けと言われたら・・・ちょっとお手上げです。