『面積の関係』解答

◆静岡県　ヨッシー　さんからの解答。

点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＤ、
点ＰからＡＤに下ろした垂線の足をＨとします。

このとき、

△ＣＰＡ＋△ＡＰＢ＝

１ ―― ２

・ＡＨ・ＢＣ

また、
ＰＡ≧ＡＨ（等号は点ＰがＡＨ上にあるとき）

より、

△ＣＰＡ＋△ＡＰＢ≦

１ ―― ２

・ＡＰ・ＢＣ

ＰＡ・ＢＣ≧２（△ＣＰＡ＋△ＡＰＢ）

同様にして、
ＰＢ・ＣＡ≧２（△ＡＰＢ＋△ＢＰＣ）

ＰＣ・ＡＢ≧２（△ＢＰＣ＋△ＣＰＡ）

以上より

ＰＡ・ＢＣ＋ＰＢ・ＣＡ＋ＰＣ・ＡＢ
≧４（△ＡＰＢ＋△ＢＰＣ＋△ＣＰＡ）
＝４△ＡＢＣ

また、等式は点Ｐが△ＡＢＣの垂心であるときで、△ＡＢＣが鋭角三角形または直角三角形のときに△ＡＢＣの内部または周上に存在する。

◆東京都の中学校１年生　安里歩安彼 さんからの解答。

三角形の面積の公式より、

PA×BC＋PB×CA＋PC×AB
≧２（BPCA＋APCB＋APBC）
＝２（２△ABC）
＝４△ABC

となり、示された。
また、等号は、Ｐが垂心のとき、なりたつ。

◆宮城県　アンパンマン　さんからの解答。

【問題１】

PAとBCの交点をX、PBとACの交点をY、PCとABの交点をZ、とする。

　PA*BC+PB*CA+PC*AB
=(PA/XA)*XA*BC+(PB/YB)*YB*AC+(PC/ZC)*ZC*AB
≧2(PA/XA+PB/YB+PC/ZC)*S

ここで　S=△ABCの面積。

PA/XA+PB/YB+PC/ZC＝２　ですから

PA*BC+PB*CA+PC*AB≧2*2*S=4S

【問題２】

XA*BC=YB*AC=ZC*ABの時、不等式の等号が成立する。

つまり
AX⊥BC、BY⊥AC,　CZ⊥AB　の時です。

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