『９９９・・の３乗』

『９９９・・の３乗』解答

◆和歌山県の中学校３年生　由香さん　さんからの解答。

【問題１】

１番７２９。
２番９７０２９９．
３番９９７００２９９９。
４番９９９７０００２９９９９．
５番９９９９７００００２９９９９９

◆静岡県　ヨッシー　さんからの解答。

【問題１】

9³=729
99³=970299
999³=997002999
9999³=999700029999
99999³=999970000299999

【問題２】

９がｎ個並んでいる数の３乗は３ｎ桁の数で、
上ｎ桁は、
　ｎ－１個の９と７、

下２ｎ桁は、
　ｎ－１個の０、２、ｎ個の９

を並べた数になります。

（証明）

９がｎ個並んだ数は１０ⁿ－１　と書けます。

３乗して展開すると

　（１０ⁿ－１）³
＝１０³ⁿ－３・１０²ⁿ＋３・１０ⁿ－１
＝１０²ⁿ（１０ⁿ－３）＋（３・１０ⁿ－１）

前項が９９９・・・９７（上ｎ桁）
後項が２９９９・・・９
（２が１個と９がｎ個、下２ｎ桁に右詰めで入れる）
を表します。

◆大分県の小学生　べっち　さんからの解答。

証明はできないけれど、性質は見つけました。

９を３乗すると７２９。

性質（法則）は７２９に
７の左側に（けた数－１）だけ９、
７と２の間に（けた数－１）だけ０、
２と９の間に（けた数－１）だけ９を入れると
（９のけた数）の３乗になります。

例えば９＊９＊９＝７２９
９９＊９９＊９９＝９７０２９９
９９９＊９９９＊９９９＝９９７００２９９９
となります。

感想：算数って不思議なことがいっぱいあるんですね！！

◆東京都　鳳　奥人　さんからの解答。

【問題１】

元の数３乗の数

9 729

99 970,299

999 997,002,999

9999 999,700,029,999

99999 999,970,000,299,999

【問題２】

元の数が９をｎ個並べてできる数（ｎは自然数）だったら、それを３乗した数は
まず９を(n-1)個並べ、次に７を１個置き、続いて０を(n-1)個並べ、次に２を１個置き、最後に９をｎ個並べる・・・
と、求められる。

【証明】

この「９をｎ個並べててきる数」を「１０ⁿから１をひいたもの」と考えると、３乗した数は

(10ⁿ-1)³ = 10³ⁿ-3(10²ⁿ)+3(10ⁿ)-1= (10ⁿ-3)10²ⁿ + 3(10ⁿ)-1

(10ⁿ-3)10²ⁿ は９が(n-1)個続いてから７が来て、その後に０が2n個続く数。

3(10ⁿ)-1 は２の後に９がｎ個続く数。

この２つを足すのだから、

となる。

（証明終わり）