◆新潟県 加藤 英晴 さんからの解答。
【問題２】
１２０°の角の対辺をｈ（ｘ）＝ｅｘ＋ｉ
１２０°の角を挟辺をｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，
ｇ（ｘ）＝ｃｘ＋ｄとおきます。
ただし，a,b,c,d,e,iは整数で，ａ，ｃ，ｅは０でないとします。
余弦定理よりｈ（ｘ）2＝ｆ（ｘ）2＋ｇ（ｘ）2＋ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）
（ｅｘ＋ｉ）2＝（ａｘ＋ｂ）2＋（ｃｘ＋ｄ）2
展開して，ｘについての２次の項，１次の項，定数項の係数を比較すると，
ｅ2＝ａ2＋ｃ2＋ａｃ
２ｉｅ＝２ｃｄ＋２ａｂ＋ｂｃ＋ａｄ
ｉ2＝ｂ2＋ｄ2＋ｂｄ
ｅ，ｉを消去すると，
ａ2＊ｄ2＋ｂ2＊ｃ2＋ａ2＊ｂ2−２ａｂｃｄ＝０
ｂ2＊ｃ2−２ａｂｄ＊ｃ＋ａ2＊(ｄ2＋ｂ2)＝０
| ｃ＝ | ａｂｄ±√（ａ2＊ｂ2＊ｄ2−ｂ2＊ａ2＊ｄ2＋ｂ2） ｂ2 |
| ＝ | ａｂｄ±√（−ａ2＊ｂ4） ｂ2 |
ｃは整数より，√の中は平方数でなけらばならないですが，√の中は，正にならないので，０です。
ａは０でないとしていたので，ｂ＝０となりますが，するとｃが不定となります。
これは，ｃが定数であることに矛盾します。
したがって，１２０°を含む三角形において，３辺全てが１次式である整数係数多項式は存在しえないといえます。
◆東京都 ぽこぺん さんからの解答
【解答】
三角形の 3 辺の長さを表す整数係数の多項式を u(x)，v(x)，w(x) とする。
このとき，余弦定理を用いると，
w(x) の対角が 2π/3 となる条件は次の式で表される。
u(x)2 + u(x)v(x) + v(x)2 = w(x)2 (*)
【問題１】
u(x)，v(x)，w(x) がそれぞれ 2 次，1 次，2 次の多項式であるものをすべて（注）求める。
u(x) = ax2 + bx + c
v(x) = dx + e
w(x) = ax2 + px + q
a，d ≠ 0
とおけるから，式 (*) に代入して，各次数の係数を比較すると
2ab + ad - 2ap = 0 (1)
b2 + bd + d2 + 2ac + ae - p2 - 2aq = 0 (2)
2bc + 2de + cd + be - 2pq = 0 (3)
c2 + ce + e2 - q2 = 0 (4)
が得られる。
ここで a ≠ 0 だから (1) の両辺を a で割って，
d = 2(p - b) (1')を得る。
また，補題を用いると，(4) を満足する任意（注）の (c, e, q) の組は，m, n を整数のパラメータとして
c = m2 - n2
e = - 2mn + n2
q = m2 - mn + n2
と表すことができる。
ここで，m，n の値を同時に定数倍すると，c，e，q の値はその定数の 2 乗倍になる。
特に，m と n の符号を同時に入れ替えても c，e，q の値は変わらないから，m は
m ≧ 0の範囲を動くものとしても一般性を失わない。
これによって定められた d，c，e，q を (2) に代入すると，
(b - p)2 = an2 (2')
n (b(-2m + n) + 2mp) = 0 (3')
を得る。
ここで，n = 0 とすると，(2') より b = p，(1') より d = 0 となって条件に反する。
したがってn ≠ 0である。
このとき，(2') より
| a = ( | b - p n |
) | 2 | であるから， |
b = p + nt
a = t2
と書くことができる。ここで a ≠ 0 だから
t ≠ 0である。
一方，(3') より
(p + nt)(-2m + n) + 2mp = 0
であるから，
p = (2m - n)tを得る。
以上より，
a = t2
b = 2mt
c = m2 - n2
d = -2nt
e = -(2m - n)n
p = (2m - n)t
q = m2 - mn + n2
を得る。さらにこれを u(x)，v(x)，w(x) に代入すると，
u(x) = (tx)2 + 2mtx + (m2 - n2)
v(x) = -2ntx - (2m - n)n
w(x) = (tx)2 + (2m - n)tx + (m2 - mn + n2)
m ≧ 0、n，t ≠ 0を得る。
明らかに，u(x)，v(x)，w(x) は多項式として共通因数を持たない。
［注： 整数の共通因数に関しては，(m, n, t) を定数倍すると，u(x)，v(x)，w(x) は その定数の 2 乗倍になるから，(m, n, t) は共通の約数を持たないことがまず必要である。
さらに，m + n が 3 の倍数のとき，(m, n) が互いに素であっても (c, e, q) は 3 で割り切れるから，そのとき t が 3 の倍数であってはならない。］
たとえば，m，n，t を 0 ≦ m ≦ 3，-2 ≦ n ≦ 2，-2 ≦ t ≦ 2，n，t ≠ 0 の範囲で，共通因数を持たないように動かしたときの u(x)，v(x)，w(x) は別表のようになる。
このうち，(m,n,t) = (1,1,1) である解は問題の例にあげられている組である。
【問題２】
前問の (1)〜(4) において a = 0 とおくと，
b2 + bd + d2 - p2 = 0 (2'')
2bc + 2de + cd + be - 2pq = 0 (3'')
c2 + ce + e2 - q2 = 0 (4'')
となる。ただし，b，d，p ≠ 0 である。
(3'') より
(2bc + 2de + cd + be)2 - 4(pq)2 = 0
となるから，ここに (2'') より p2 を，(4'') より q2 を代入すると，
cd - be = 0を得る。このとき，b，d ≠ 0 だから，
| c b | = | e d | = | g f |
（f，g は互いに素な整数） |
とおくことができ，整数 b'，d' を用いて
u(x) = b' (fx + g)
v(x) = d' (fx + g)
と書ける。
ただし，u(x)，v(x) が三角形の辺長であることから，b'，d’は同符号とする。
これを (*) に代入すると
w(x)2 = (b'2 + b'd' + d'2) (fx + g)2
となるから，
w(x) = ±(b'2 + b'd' + d'2)1/2 (fx + g)
を得る。ここで h を b'，d' と同符号の整数とし，
b'2 + b'd' + d'2 = h2
に解が存在するような (b', d', h) の組を求めると，
w(x) = h (fx + g)となる。
(実際，そのような解は (b', d', h) = (3, 5, 7) のように存在する)
以上より，整数係数の 1 次式で条件を満たす u(x)，v(x)，w(x) は必ず 1 次式の共通因数 fx + g を持つ。
したがって，問題１と同様に，（多項式の意味で）「3 辺が互いに素」という条件をつけると，解は存在しない。
【補題】
m，n が互いに素な整数ならば，
x = m2 - n2
y = - 2mn + n2
z = m2 - mn + n2
で定められる整数 x，y，z は，不定方程式
x2 + xy + y2 = z2 (#)
を満たし，(x, y, z) の最大公約数は 1 か 3 である。
ここで，最大公約数が 3 になるのは，m + n が 3 の倍数の場合である。
【証明】
x，y，z を代入すれば解であることがわかる。
また，
| m2= | x - y + 2z 3 | ，n2 = | -2x - y + 2z 3 |
と書けるから，(x，y，z) の最大公約数が 1，3 以外であれば，
(m2，n2)，すなわち (m，n) も同じ最大公約数を持つ。
また，
x = (m + n)(m - n)
y = n(m + n - 3m)
z = (m + n)2 - 3mn
であるから，(x，y，z) の最大公約数が 3 であるための必要十分条件は，
m + n が 3 の倍数であることである。
（証明終）
【補題の注】
1 の虚 3 乗根の一つを ω とおくと，共役複素数を ' で表すとき，
x2 + xy + y2 = (x - ωy)(x - ω'y)
である。
ここで，二次体 K(i√3) で考えると，
x - ωy と x - ω'y とは互いに素であり，(#) を満たす x，y は
x - ωy = ε (m + ωn)2
x - ω'y = ε'(m + ω'n)2
でなければならない。
ただし，m，n は有理整数であり，ε は K(i√3) の単数で，
ε = ±1，±ω，±ω'である。
ここで，ε = 1 を用いれば，
| x = | ω'(m + ωn)2 - ω(m + ω'n)2 ω' - ω |
= m2 - n2 |
| y = | (m + ωn)2 - (m + ω'n)2 ω' - ω |
= - 2mn + n2 |
となり，このとき，
z2 = (m2 - mn + n2)2
を得る。
したがって，これにより (#) の「すべての」解が得られることがわかる。
解答本文中で（注）をつけた「すべての」「任意の」に関しては，これが必要である。
しかし，本問では「例をたくさん求める」ことが目的であるので，あえて K(i√3) を出す必要はない。
【感想】
話は簡単なのですが，細かいところでやけに面倒な議論をしてしまいました。
------+-----------+----+------------------+----------+------------------
m n | c e q | t | u(x) | v(x) | w(x)
------+-----------+----+------------------+----------+------------------
0 -2 -4 4 4 -1 (-4) + x2 4 - 4x 4 - 2x + x2
1 (-4) + x2 4 + 4x 4 + 2x + x2
0 -1 -1 1 1 -2 (-1) + 4x2 1 - 4x 1 - 2x + 4x2
-1 (-1) + x2 1 - 2x 1 - x + x2
1 (-1) + x2 1 + 2x 1 + x + x2
2 (-1) + 4x2 1 + 4x 1 + 2x + 4x2
0 1 -1 1 1 -2 (-1) + 4x2 1 + 4x 1 + 2x + 4x2
-1 (-1) + x2 1 + 2x 1 + x + x2
1 (-1) + x2 1 - 2x 1 - x + x2
2 (-1) + 4x2 1 - 4x 1 - 2x + 4x2
0 2 -4 4 4 -1 (-4) + x2 4 + 4x 4 + 2x + x2
1 (-4) + x2 4 - 4x 4 - 2x + x2
1 -2 -3 8 7 -2 (-3) - 4x + 4x2 8 - 8x 7 - 8x + 4x2
-1 (-3) - 2x + x2 8 - 4x 7 - 4x + x2
1 (-3) + 2x + x2 8 + 4x 7 + 4x + x2
2 (-3) + 4x + 4x2 8 + 8x 7 + 8x + 4x2
1 -1 0 3 3 -2 (-4)x + 4x2 3 - 4x 3 - 6x + 4x2
-1 (-2)x + x2 3 - 2x 3 - 3x + x2
1 2x + x2 3 + 2x 3 + 3x + x2
2 4x + 4x2 3 + 4x 3 + 6x + 4x2
1 1 0 -1 1 -2 (-4)x + 4x2 (-1) + 4x 1 - 2x + 4x2
-1 (-2)x + x2 (-1) + 2x 1 - x + x2
1 2x + x2 (-1) - 2x 1 + x + x2
2 4x + 4x2 (-1) - 4x 1 + 2x + 4x2
1 2 -3 0 3 -2 (-3) - 4x + 4x2 8x 3 + 4x2
-1 (-3) - 2x + x2 4x 3 + x2
1 (-3) + 2x + x2 (-4)x 3 + x2
2 (-3) + 4x + 4x2 (-8)x 3 + 4x2
2 -2 0 12 12 -1 (-4)x + x2 12 - 4x 12 - 6x + x2
1 4x + x2 12 + 4x 12 + 6x + x2
2 -1 3 5 7 -2 3 - 8x + 4x2 5 - 4x 7 - 10x + 4x2
-1 3 - 4x + x2 5 - 2x 7 - 5x + x2
1 3 + 4x + x2 5 + 2x 7 + 5x + x2
2 3 + 8x + 4x2 5 + 4x 7 + 10x + 4x2
2 1 3 -3 3 -2 3 - 8x + 4x2 (-3) + 4x 3 - 6x + 4x2
-1 3 - 4x + x2 (-3) + 2x 3 - 3x + x2
1 3 + 4x + x2 (-3) - 2x 3 + 3x + x2
2 3 + 8x + 4x2 (-3) - 4x 3 + 6x + 4x2
2 2 0 -4 4 -1 (-4)x + x2 (-4) + 4x 4 - 2x + x2
1 4x + x2 (-4) - 4x 4 + 2x + x2
3 -2 5 16 19 -2 5 - 12x + 4x2 16 - 8x 19 - 16x + 4x2
-1 5 - 6x + x2 16 - 4x 19 - 8x + x2
1 5 + 6x + x2 16 + 4x 19 + 8x + x2
2 5 + 12x + 4x2 16 + 8x 19 + 16x + 4x2
3 -1 8 7 13 -2 8 - 12x + 4x2 7 - 4x 13 - 14x + 4x2
-1 8 - 6x + x2 7 - 2x 13 - 7x + x2
1 8 + 6x + x2 7 + 2x 13 + 7x + x2
2 8 + 12x + 4x2 7 + 4x 13 + 14x + 4x2
3 1 8 -5 7 -2 8 - 12x + 4x2 (-5) + 4x 7 - 10x + 4x2
-1 8 - 6x + x2 (-5) + 2x 7 - 5x + x2
1 8 + 6x + x2 (-5) - 2x 7 + 5x + x2
2 8 + 12x + 4x2 (-5) - 4x 7 + 10x + 4x2
3 2 5 -8 7 -2 5 - 12x + 4x2 (-8) + 8x 7 - 8x + 4x2
-1 5 - 6x + x2 (-8) + 4x 7 - 4x + x2
1 5 + 6x + x2 (-8) - 4x 7 + 4x + x2
2 5 + 12x + 4x2 (-8) - 8x 7 + 8x + 4x2
------+-----------+----+------------------+----------+------------------
m n | c e q | t | u(x) | v(x) | w(x)
------+-----------+----+------------------+----------+------------------