◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
Ａ Ｂ Ｃ 10 5 50 11 5 55 14 4 56 13 4 52 12 4 48 11 4 44 10 4 40 19 3 57 18 3 54 17 3 51 16 3 48 15 3 45 14 3 42 13 3 39 12 3 36 11 3 33 10 3 30 29 2 58 28 2 56 27 2 54 26 2 52 25 2 50 24 2 48 23 2 46 22 2 44 21 2 42 20 2 40 19 2 38 18 2 36 17 2 34 16 2 32 15 2 30 14 2 28 13 2 26 12 2 24 11 2 22 10 2 20題意より上記３７通りの場合が考えられる。
ＢはＡとＣの発言をもとに考える。
Ｂが５であればＡは１０、Ｃは５０とわかるはずである。
謎として残るのは、
Ａ Ｂ Ｃ 12 4 48 10 4 40 18 3 48 12 3 36 10 3 30 18 2 36 15 2 30上記の場合である。Ｂは結局、わからないと答えている。
答え Ａ..１５ Ｂ...２ Ｃ...３０。
背理法の練習問題ですね。疲れました。
◆東京都 eiki さんからの解答。
『あい』『まい』『みい』の『父』として、こういう問題はみすごせません。
Ａを縦、Ｂを横として、Ｃを表にすると、すべての可能性は次のとおり。
| 2 3 4 5
---+-------------------
11 | 22 33 44 55
12 | 24 36 48
13 | 26 39 52
14 | 28 42 56
15 | 30 45
16 | 32 48
17 | 34 51
18 | 36 54
19 | 38 57
20 | 40
21 | 42
22 | 44
23 | 46
24 | 48
25 | 50
26 | 52
27 | 54
28 | 56
29 | 58
これでＡがわからないのだから、可能性が複数ある
| 2 3 4 5
---+-------------------
11 | 22 33 44 55
12 | 24 36 48
13 | 26 39 52
14 | 28 42 56
15 | 30 45
16 | 32 48
17 | 34 51
18 | 36 54
19 | 38 57
これでＣがわからないのだから、可能性が複数ある
| 2 3 4 5
---+------------------
12 | 36 48
16 | 48
18 | 36
これでＢがわからないのだから可能性が複数ある
| 2 3 4 5
---+------------------
12 | 36
16 | 48
結局、Ａは自分のカードを知っているから他の二人のカードが
Ａ＝１２ならＢ＝３、Ｃ＝３６
Ａ＝１６ならＢ＝３、Ｃ＝４８
とわかるハズ。（でも、ぼくはＡのカードを知りませんから・・・）
◆大阪府 ふるふる さんからの解答。
Ａさん、Ｂさん、Ｃさんのカードの数字をそれぞれａ,ｂ,ｃとする
まず問題の条件より、
10≦ａ≦29,2≦ｂ≦5,20≦ｃ≦59
まずＡさんがわからなかったので、10≦ａ≦19と限定されるので、
20≦ｃ≦57
(∵20≦ａ≦29だとｂ=2,ｃ=2ａとわかり、Ａさんが全てわかってしまう）
そして、Ｃさんがわからなかったので,「ａもｂも素数」ということはない。
さらに、もしａが素数だとｂ=4,ｃ=4ａとＡさんがわかってしまうのでａは素数ではない。
したがって、ａ=10or12or14or15or16or18
また、Ｃさんがわからないので、ａの可能性が2つ以上（10,12,14,15,16,18のうち少なくとも2つの公倍数）でなければならない。
よって、ｃ=30,36,48のいずれか。
ａ ｂ ｃ 10 3 30 12 3 36 12 4 48 15 2 30 16 3 48 18 2 36考えられるのはこれだけ。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
「ＡさんとＣさんのカードには違った数字が書かれており」
「Ｃさんの数は６０よりも小さい」より、
Ｂは、２，３，４，５のどれか、Ａは１０以上３０未満の数です。
＜１回目＞Ａがわからない
Ａが２０以上だと、Ｂは２に確定するが、そうではないのでＡは１０から１９までの数。
＜２回目＞Ｃがわからない
Ｃの数が Ａ×Ｂ の形に２通り以上書けるということなので、そういうＣの数と、Ａ，Ｂの組み合わせは
３０＝１５×２＝１０×３
３６＝１８×２＝１２×３
４８＝１６×３＝１２×４
＜３回目＞ＡがＢに尋ねている→Ｂがわからない
上の組み合わせで、Ａが１２以外なら、Ａは他の２人の数がわかるが、そうではないので、この時点でＡ＝１２が確定する。
この時点で、Ｂは他の２人の数がわかるはずであるが、そこまで考えつかなかった。
Ｂが４なら、上の組み合わせで他の２人がわかるが、そうではないのでＡはＢを３と断定。
結果 Ａ＝１２、Ｂ＝３、Ｃ＝３６
【コメント】
ということで正解は１２，３，３６でした。
この問題はいかにもパズルらしく、あらゆる推理を行わなければならないという感じの問題ですね。
◆東京都 eiki さんからのコメント。
むーん、悔しい。悔しいから負け惜しみだいっ。
第２ヒントでＡさんがわからなかったという情報はアリなんでしょうか？
ＢさんがわからないことをＡさんに質問させることによって、出題者はその情報を組み込んだつもりなのでしょうか？
そういう情報、すなわち明確にわからないといっていないのに、わからないと同様に扱っていいなら『正解』には矛盾があると思います。
いっそ、ぼくがＣさんになって説明します。
『えーと、おれ（Ｃ）のカードは３６か。。。
するとＡは１２か１８で、Ｂは３か２というわけだけど、（Ｂはこの際おいておいて）、 Ａが１８なら、あいつ（Ａ）は、Ｂが２か３、おれ（Ｃ）が３６か５４と考えているはず。
でもあいつ（Ａ）は、おれが５４をもっているなら、おれ（Ｃ）が、
（Ａが１８か２７で、Ｂが２か３か。。。
だけどＡが２７ならあいつ（Ａ）は２７×２＝５４しかないとスグわかるはず。
でも、あいつ（Ａ）が何もいわないところをみると、Ａは１８のはずだ）
と考えて、わかったというはずなのに、
おれ（Ｃ）が何もいわないところをみると、Ｃは３６とわかるはず。
でも、あいつ（Ａ）は何も言わないところをみると。。。Ａは１２だ！』
そして、Ａが１２のとき、Ａはこんなことを考えているはず。。。
『えーと、ぼく（Ａ）のカードは１２か。。。
するとＢは２か３か４で、Ｃは２４か３６か４８というわけだけど、Ｃが２４なら彼（Ｃ）は
１２×２＝２４しかないとスグわかるはず。
でも、彼（Ｃ）が何もいわないところをみると、Ｃは３６か４８だ。
Ｃが４８なら、彼（Ｃ）は、ぼく（Ａ）が１２か１６か２４と考えているはず。
でもぼく（Ａ）が２４なら、彼（Ｃ）は、ぼく（Ａ）がスグわかるはずなのに、ぼく（Ａ）が何もいわないところをみると、Ａは１２か１６とわかるはず。
でもぼく（Ａ）が１２は１６かは、とりあえずわからないよなあ。
で、もし、Ｃが３６なら・・・（上記Ｃの考え）・・・となって、ぼく（Ａ）のカードが１２とわかるはずなのに、
彼（Ｃ）が何もいわないところをみると。。。Ｃは４８だ！』
ふたりは同時にいいました。
「先生っ、私には他の二人の数がわかりました。」
ＡさんＣさんはびっくりして、互いに文句をいいました。
「わかったなら早くいってよ。はじめから考え直しじゃない」
◆山口県の中学校３年生 福岡弘規、山本秀範さんからの解答。
この問題を三週間かけて解きました。
文章だけでは書ききれないので、ノートに書いたものをスキャナーで画像ファイルにしてお届けします。
僕たちの力作をご覧ください。
（１）６０＞Ｃ
（２）Ａ＝２桁、Ｂ＝１桁、Ｃ＝２桁
（３）ＡとＣは数が違う
式 ○○（Ａ）×○（Ｂ）＝○○（Ｃ）
ということが分かっている。
（４）（１）よりＢの数は、６以上があり得ない。
（５）（３）よりＢの数は、１はありえない。
（６）（４）、（５）よりＢは２〜５の範囲となる。
そこで次の表な表を作ってみました。
３．
(1)表２で１．と同じことをやります。
→Ａ＝１２，Ｂ＝３と４，Ｃ＝３６か４８（赤線）
(2)表２で横列で１つしかない数を消してしまいます。
それと２．も同時にやります。
→Ａ＝１０と１２と１５と１８，Ｂ＝２と３，Ｃ＝３０と３６（青線）
４．
３．で(1)と(2)の両方に残っている数を取り出します。
→Ａ＝１２，Ｂ＝３，Ｃ＝３６となり、これは問題にあっています。
よって
Ａさんのカードの数は１２，
Ｂさんのカードの数は３，
Ｃさんのカードの数は３６です。
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
条件から分かることは
Ａ×Ｂ＝Ｃ
１０≦Ｃ＜６０
１０≦Ａ＜６０（ＡはＣの約数だから、Ｃを超えない）
２≦Ｂ≦９（Ａ≠ＣなのでＢ≠１）
まず、Ａさんが他の２人の数を決められないためＡさんの数は１０〜１９のどれかである。
もし、２０以上だとＢさんは２と決まるから。
（Ｂさんが３以上だと、Ｃさんの数が６０以上になる）
次に、Ｃさんがわからなかったということで、Ａ・Ｂの数のパターンがここまでに求めた範囲内でもまだ複数あることになる。
これは人力でがんばって求めます。
| B＼A | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| 2 | 30 | 36 | ||||||||
| 3 | 30 | 36 | 48 | |||||||
| 4 | 48 |
（Ｂが５以上だと該当パターンがないので省略）
この時点でＡさんがまだ他の２人の数を特定できないということは、Ａさんから見てＢさんの数の選択肢が複数あるということ。
ということで、Ａさんの数は１２。
その上で、Ｂさんもまだ他の２人の数がわからないということは、Ｂさんから見てＡさんの数の選択肢が複数あるということ。
つまり、Ｂさんの数は４ではない。というわけで、Ｂさんの数は３。
したがってＣさんの数は３６。
答え：Ａさんは１２、Ｂさんは３、Ｃさんは３６。
※上の表を作るにあたって Microsoft Excel の助けをかりました。
いろいろと計算をさせるのに役立っております。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
Ａ,Ｃの発言より、３数の候補は次の６通り。
Ａ Ｂ Ｃ １０ × ３ ＝ ３０ １２ × ３ ＝ ３６ １２ × ４ ＝ ４８ １５ × ２ ＝ ３０ １６ × ３ ＝ ４８ １８ × ２ ＝ ３６Ｂの答えより、３数の候補は次の５通り。
Ａ Ｂ Ｃ １０ × ３ ＝ ３０ １２ × ３ ＝ ３６ １５ × ２ ＝ ３０ １６ × ３ ＝ ４８ １８ × ２ ＝ ３６問題では、Ｂの答えを聞いたのでＡはわかった。
◆山梨県 Footmark さんからのコメント。
以前から気になっていたのですが、思い切ってコメントします。
少し考えてＡさんはＢさんに尋ねました。
「あなたは他の二人の数がわかりますか。」
問題は、この時点でＢがするＡの解釈の仕方です。
何人かの解答者は、「Ａはまだわかっていない。」とＢに解釈させています。
eikiさんも指摘するように、この時点でＡは「わかった」とも「わからない」とも明言してません。
どうも、我々解答者の立場と問題の中の登場人物の立場を混同しているように思えてなりません。
我々解答者が「この時点のＡはまだわかっていない」とするのは正論ですが、Ｂにそのような解釈を強いるのは論理の飛躍です。
我々解答者は問題を読んで、ＡがわかったのはＢの答えを聞いたからだと知っています。
ところが、問題の中のＢにとって、この時点でのＡが「わかっている」のか「わかっていない」のか知るよしもありません。
ＡがＢに尋ねたこと自体が、(この場合はＢですが、)わかっていても明言しないことがありうる証です。
そうでなければ、尋ねる意味がありません。
それに、仮にＢがそのような解釈をしたとすると、「私には他の二人の数が決められません。」と答える筈がありません。
以下、その矛盾を示します。
Ａ,Ｃの発言より、３数の候補は次の６通りと３人ともわかる。
Ａ Ｂ Ｃ １０ × ３ ＝ ３０ １２ × ３ ＝ ３６ １２ × ４ ＝ ４８ １５ × ２ ＝ ３０ １６ × ３ ＝ ４８ １８ × ２ ＝ ３６それでもＡにはわからなかったとＢは解釈したので、３数の候補は次の２通りとＢにはわかる。
Ａ Ｂ Ｃ １２ × ３ ＝ ３６ １２ × ４ ＝ ４８すると、Ｂにとって、
自分のカードが３なら、Ａ,Ｃのカードは １２,３６
自分のカードが４なら、Ａ,Ｃのカードは １２,４８
と、他の二人の数が決められた筈。
よって、Ｂが「私には他の二人の数が決められません。」と答える筈がありません。
◆茨城県 雲隠才蔵 さんからのコメント。
山梨県 Footmark さんからのコメントにコメント
すると次のようにも考えられます。
AさんはCさんの答えを聞いて他の人の数が特定できた。
しかも、Bさんには特定できないこと、また、そのことをCさんが知っても数を特定できないこと、を知っていて、
勝者の余裕で敢えてBさんに尋ねた。
そしてBには数が決められないことを明らかにした上でAさんは（得意満面で）数がわかったと宣言した。
Cさんの答えでAさんが数を特定できるのは
A=10,15,16,18のとき。
Bさんが数を特定できないのは、B=2またはB=3のときなので、
このときCさんが数を特定できないのはC=30またはC=36のとき。
A=16のときは、C=48となるが、Bさんが数を特定できないことを知ったCさんがすかさず答えを言ってしまうかもしれないので、
AさんはBさんに尋ねないでさっさと答えを言うだろう。
よって考えられる組み合わせは
(A,B,C)=(10,3,30),(15,2,30),(18,2,36)
これと、AさんはBさんの答えを聞いて初めて数が特定できた場合の
(A,B,C)=(12,3,36)
以上４ケースが考えられる。
◆石川県 ようらん さんからの解答。
AはCと異なるのでBは1ではない。
また、Cが60未満でAは10以上なのでBは6未満。
よってB＝2.3.4.5となる。
Aが20以上であればBは2となりAが自分の番号だけでBCの番号がわかってしまい不適。
A＝10〜19
Cの値は2〜5のいずれかと10〜19のいずれかとの積であるが、2通り以上の組み合わせがないとCは自分の番号だ
けでABの番号がわかってしまい不適となってしまう。
条件に合う組み合わせは、
(A.B.C)＝(15.2.30)(10.3.30)(18.2.36)(12.3.36)(16.3.48)(12.4.48) の6通り
そこでAがBに質問していることからAの数字からはわからないはずなので
(12.3.36)(12.4.48)の2通り
それでBがわからないと答えるのだからBは4ではない
以上のことから、(A.B.C)＝(12.3.36） となる。
でもこれってさ、よくよく考えるとAがBに質問した時点で本当に2通りに絞れるならBがわからないと答えたりC
が沈黙なわけなくてさ、BもCもAがブラフで本当はわかってるのにBに質問してるかもしれないと考えてるわけ
で・・・そう考えるとABCは学生なわけだし一体Aは普段BCにどんな腹黒いことをしているんだ？
こんな腹黒いAがBCの返答に素直に信じているあたり、そうとうBCはAに従順にならざるをえない嫌がらせを受けているとしか思えないにょ。
・・・・考えすぎ？
え〜っと、AはBに質問した時点ですでにわかっていた可能性も考慮すると
(16.3.48)はBがわからないと答えた時点でCがわかっちゃうから不適。
よって(A.B.C)＝(15.2.30)(10.3.30)(18.2.36)(12.3.36)となるね。