『1/1　+　1/2　+　1/3　+...+　1/n』解答

◆大阪府　ゆたか さんからの解答。

◆【問題１】

n=1のとき、題意は誤りです。

というわけで、n≧２とします。

1 1

＋

1 2

＋

1 3

＋・・・＋

1 n

= Ｍ（整数）とします。

nを超えない最大の素数をpとします。
（n≧２だから存在します）
左辺から1/pだけを右辺に移項します。

1 1

＋

1 2

＋

1 3

＋・・＋

1 p-1

＋

1 p+1

＋・・＋

1 n

= Ｍ -

1 p

右辺は

pＭ-1 p

で、この分数は既約です。

一方左辺を既約分数に通分したとき、分母は因数pを持ちません。
これは、明らかに不合理ですから

1 1

＋

1 2

＋

1 3

＋・・・＋

1 n

は整数にはなりません。

◆山梨県　Footmark さんからの解答。

【問題１】

「任意の自然数ｎに対して…」とありますが、ｎ＝１のときは自然数１となり反例です。
よって、以下は「２以上の任意の自然数ｎに対して…」と問題を置き換えての証明です。

[ 証明 ]

ｎ≧２ なら、１,２,３,…,ｎ の中には必ず [２の自然数乗] となる数が存在します。
そこで、ｎ以下で最大の２の自然数乗を ２^k とします。
また、１,２,３,…,２^k,…,ｎ の最小公倍数を Ｌ とします。

すると、

１ １

＋

１ ２

＋

１ ３

＋…＋

１ ２k

＋…＋

１ ｎ

＝

（ Ｌ １ )＋( L ２ )＋( Ｌ ３ )＋…＋( Ｌ ２k )＋…＋( Ｌ ｎ ） Ｌ

ところで ２^k≦ｎ＜２^k+1 なので、２^k＋１,２^k＋２,２^k＋３,…,ｎ はどれも２^kで割り切れません。
よって、１,２,３,…,２^k,…,ｎ の中で２^k以外は、どれも素因数２の指数はｋ未満です。
一方、２^kの素因数２の指数はｋですから、最小公倍数Ｌの素因数２の指数もｋです。

すると、右辺の分子の各項では、

Ｌ ２k

だけが奇数で他はすべて偶数です。

よって分子全体は奇数です。
ところが分母は偶数です。

明らかに、

奇数 偶数

は自然数ではありません。

証明は終わりです。

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