◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
２つの一円玉の、ずらした方向の端から端までの長さ(ｃｍ）は
明らかに、２＋Ａ。
よって、重心位置(ｃｍ)は、その両端から １＋０.５Ａ
【問題２】
【問題１】の結果と、０＜Ａ＜１より、はみだし可能の長さ(ｃｍ)＜１.５
つまり、１.５ｃｍ(一円玉の直径の３/４)未満なら、限りなくそれに近づけてはみだせる。
【問題３】
何こ重ねようと、机や各一円玉にとってみれば、自分より上にある一円玉全体の重心は、自分からはみだせない。
（はみだすと、上にある一円玉全体が自分(机や各一円玉)から落ちてしまう。）
ところが、そうならない範囲なら、一円玉の数を限りなく増やすことで、いくらでも全体の重心位置を１番下の一円玉の端に近づけられる。
よって、１番下の一円玉はほんの僅かでも面(点ではない)が机に接していれば理論的には可能。
つまり、２ｃｍ未満なら、限りなくそれに近づけてはみだせる。
【Ｐ・Ｓ】
一円玉の直径は約２pですが、多くの人が、「直径２pの円を描け」と言うとほぼ正確に書けるのに、「一円玉を描け」と言うと、実際より小さく描いてしまうそうです。
「それは一円玉を馬鹿にしているからだ」という説まであるとか…。
また、一円玉の重さはぴったり１ｇ、いくつもあれば分銅代わりにも使えます。
◆愛知県 juin さんからの解答。
【問題１】
２つの一円玉の重心を結んだ線分の中点。
【問題２】
１つめの一円玉の重心の真下に２枚目の一円玉の端がくるようにする。
共通重心は２枚の重心の中点にあるから、
１＋０．５＝１．５
机から１．５ｃｍはみだすことができる。
【問題３】
幾らでもはみだしてのせることができる。
理由
１枚目の一円玉の左端を０、中心をG1(1)として座標を入れる。
机の左端を１にあわせれば一円玉をのせることができる。
２枚目の一円玉の左端を１、中心をC2(2)にあわせる。
重心G2は１＋１／２＝３／２
机の左端をG2(3/2)にあわせれば釣りあう。
３枚目の一円玉の左端を３／２、中心C3を３／２＋１にあわせる。
重心G3は線分G2C3を2:1に内分する。
C2G3=1だから、G3は1+1/2+1/3。
ここに机の左端をあわせる。
結局n枚の１円玉を重ねた時、重心Gnは1+1/2+...+1/nにある。
Gnに、机の左端をあわせれば良い。
◆山梨県 Footmark さんからのコメント。
なるほど、確かにjuinさんのおっしゃるとおり、いくらでもはみだせますね。（＾＾；
どれも、それより上にある一円玉全体の重心位置に、すぐ下の一円玉(最後に机)の左端を合わせるので、私の示した条件も鮮やかにクリアしている上に、はみだしも常に最大となりますね。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題３】
数学的にはjuinさんの答えでよいわけですが、現実にはどうなんでしょうか。
とはいえ完璧な現実を検討するのは無理なので、ここでは
（１）一様重力場ｇ＝９．８m/s
（２）風とか振動等はない
（３）机は水平でへこまない
（４）一円玉は完璧な均質円盤
半径ｒ＝０．０１ｍ、厚みｈ＝０．００１２ｍ、質量m=０．００１kg
（５）アルミの機械的特性として
σy＝３００ＭＰａ、Ｅ＝８０ＧＰａ、μ＝０．１５とします。
ここでσyは降伏（つぶれる）応力で航空機用の特に強いものの程度としました。
Ｅはヤング率（バネ定数）、μは静止摩擦係数です。
円盤の高さは問題設定よりもう少し精度を上げて１．２ｍｍとします。
【つぶれない】
あまり高く積むと、下の方は重みに耐えかねて潰れます。
その限界の１円玉上の重さは πｒ2σyです。
一方ｎ枚の１円玉の重さはｎｇｍです。
よって ｎ＝πｒ2σy／ｇｍ、全体の高さＨ＝ｎｈ
| 張りだし量 Ｘ(n)= | n Σ i=1 |
[ | ｒ ｉ |
]≒ｒ{ln(ｎ＋０．５)＋０．５７７２１９７９} |
です。
計算すると ｎ＝９６１７１２０、Ｈ＝１１．５４ｋｍ、Ｘ＝０．１６６５６ｍ
すなわち約１７ｃｍです。
対流圏を超えてやっと１７ｃｍなのですね。
なお高さの縮み量（約０．２％）は無視しました。
【おちない】
最も問題なのはアルミが結構柔らかいことです。
（航空機に乗って乱気流に出くわすとエンジンポッドや主翼がグラグラ揺れていますよね。>,<"）
まっすぐに積み上げれば前記の如くですが、この問題のようにずらして積むと、モーメントが働いてどんどん傾いてゆき、ついには滑り落ちてしまいます。
その傾きはμであって、０．１５のとき約８．５度です。
下図模式図（n=100を誇張）参照
上からｎ枚をｎ＋１枚目に置いたときのｎ＋１枚目の中心を支点とするモーメントＭｎは
Ｍｎ＝ｇｍｎ*(ｒ／ｎ)＋Ｍｎ−１＝ｒｇｍｎ＝ｒＷｎ (Nm)
Ｗｎ＝ｇｍｎ (N)（総重量）
であり、非常に簡単な式で表されます。
モーメント当たりの１円玉の上面と下面の傾きの差Δθ(rad)はｈ／Ｅ Iです。
ここでIは断面２次モーメントと呼ばれ πｒ4／４です。
最上面を傾き０．１５(0.149rad)であるようにして X(n)にそって積み上げて行き、最下面の傾きが０になったところが限界です。即ち
atan(μ)＝｛（ｎ＋１）ｎ／２｝*ｒｇｍｈ／ＥI
です。計算すると
ｎ＝３９８８７、Ｈ＝４７．８６４ｍ、Ｘ＝０．１１１７ｍ
です。すなわち １１ｃｍ強になります。
なお円盤が傾いて張り出し方向に若干縮む効果（約０．６％）とか、細かいことを言うと角が出入りするとかは無視しました。
重さが約４０ｋｇｆで、金額は約４万円ですから、H2ロケットの格納庫あたりで試せなくはないですね。
【Ｐ．Ｓ．】
【おちない】の前提として１列に積み上げるというのがあります。
これをはずして、複数列をレンガ壁のように積み上げてモーメントを緩和すれば【つぶれない】のオーダーになると思います。多分。
また、潰れない１円玉を仮定して、地球の引力と自転による遠心力の効果を考えると、面白い曲線が得られるかも。
少なくとも赤道面上では静止衛星軌道（３６０００ｋｍ）以上には積めない。
◆出題者のコメント。
三人とも最終的には正解です。
特にY.M.Ojisan さんの解答には驚きました。
まさか・・・実際の物理的性質を細かく考えるなんてことをしてくださるとはすばらしいと思います。