◆茨城県 こんにちは さんからの解答。
【準備】
この問題を一般化して、k進法で考えます。
ここで、整数a、b、cを取ります。
a-bがcで割り切れる時 a≡b (mod c) と書くことにします。
特にaがcで割り切れるとき、a≡0 (mod c)と書きます。
準備終
【問題１解答】
１（m)と１（n)の最大公約数をgとします。
| １(m)= | km-1 k-1 | =km-1+・・・+k+1 、 |
| １(n)= | kn-1 k-1 | =kn-1+・・・+k+1 |
ゆえに、km-1=１(m)*(k-1)、
kn-1=１(n)*(k-1)
よって、km≡1 、kn≡1 (mod g)
ここで、集合Sを、S={kt≡1 (mod g)となるような、1以上の自然数}とします。
当然、mとnはSの要素である。
Sの最小の要素をhとする。
ここで次の補題を示します。
【補題】
Sの任意の要素はhで割り切れる
【補題証明】
もし、Sにhで割り切れない要素vが存在すると仮定する。
vをhで割った商をq、余りをrとする。
v=h*q+r，1≦r＜h
1≡kv≡kh*q+r≡(kh)q*kr≡kr (mod g)
よって、kr≡1 (mod g)
rは1以上なので、rはSの要素である。
これはhがSの要素の中で最小であるという仮定に反する。
よって、Sにはhで割り切れない要素は存在しない。
補題証明終
補題より、hはm、n共に割り切ることがわかる。
ここでh≧2と仮定すると、hはmとnの2以上の公約数となって、mとnが互いに素である事に反する。
よってh=1
よって、k≡1 (mod g)となる。
0≡１(m)≡km-1+・・・+k+1≡1+1+・・・+1≡m (mod g)
0≡１(n)≡kn-1+・・・+k+1 ≡1+1+・・・+1≡n (mod g)
よって、m≡0、n≡0 (mod g)
gはm,nの公約数である。
g≧2と仮定すると、gはmとnの公約数となって、mとnが互いに素である事に反する。
よってg=1となる。
これは、１（m)と１（n)の最大公約数が1である。
つまり、１（m)と１（n)が互いに素である事を示している。
◆千葉県 永山 祐介 さんからの解答。
【問題１解答】
1(n) = 10n-1 + 10n-2 + ... + 100
1(m) = 10m-1 + 10m-2 + ... + 100
ここでn＞mとして、n,m及び1(n),1(m)についてユークリッドの互助法の一段階を考えると、
| n = m * x + y ( x = [ | n m | ] , y = n - [ | n m | ] ) |
と書ける。
これは、1(n),1(m)の最大公約数を求めることは、実はn,mの最大公約数を求めることに等しいことを意味する。
これから、1(n)と1(m)の最大公約数は、nとmの最大公約数をgとすると、
1(g)と書けることがわかる。
もしもnとmが互いに素ならば、その最大公約数は g = 1。
1(n)と1(m)の最大公約数は 1(1) = 1。
よってnとmが互いに素ならば、1(n)と1(m)は互いに素となる。
【感想】
1(n)を実際に書き下してみると、正しい気が直感的にします。
はて、どうしやったものかと思い、実際に計算してみるかなと、ユークリッドの互助法を書いてみたら、あら
ら、という感じでした。
上のことから考えると、
x(n)とx(m)の最大公約数はx(gcd(n,m))と書ける
( 1 ＜ x≦9, x は自然数 )
と一般的に言えますね。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題２】
20の剰余類で考える。
即ち １１≡P2 mod 20 はあるかと考える。
１の位を考えるとPとして可能性のあるのは
１、９、１１、１９、 であるが
12≡92≡112≡192≡1 ≠11 mod 20である。
従ってn=1以外存在しない。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題３】
| 条件 | 候補 | |
| (1) | Ｐは平方数の１の桁である。 | １、４、９、６、５ |
| (2) | １（Ｎ）は平方数でない→Ｐ平方数でない | ６、５ |
| (3) | １（Ｎ）は奇数→Ｐの素因数中２は偶数冪 | ５ |
| (4) | １（Ｎ）は５の倍数でない→Ｐの因数中５は偶数冪 | なし |
【ＰＳ】
Mod 20 でも可能ですが（２）の条件も必要です。
１２１Ｐ≡Ｐ≡11*Ｑ2 mod 20 よりＰの候補はＱ＝±２と±８の場合の４に絞られます。
◆東京都 T.Kobayashi さんからの解答。
【問題３】
http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math02/math0206.htmの 2 。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題３】
以下、１桁の自然数？が２桁以上並んだ数を、？？…？と表すものとする。
？が自然数で、？？…？が平方数であるならば、？？…？の末尾の数字は１,４,５,６,９のいずれかである。
よって、２２…２も３３…３も７７…７も８８…８も平方数ではない。
(５５…５)/５＝１１…１だが、明らかに１１…１は５の倍数ではないので、５５…５も平方数ではない。
(６６…６)/６＝１１…１だが、１１…１は奇数ゆえ明らかに６の倍数ではないので、６６…６も平方数ではない。
すると、残ったのは、１１…１と４４…４と９９…９である。
１,４,９はどれも平方数ゆえ、１１…１が平方数なら、４４…４も９９…９も平方数である。
逆に、１１…１が平方数でないなら、４４…４も９９…９も平方数ではない。
明らかに、１１…１が平方数であるならば、√(１１…１)は整数である。
そこで、整数√(１１…１)の末尾の２桁を、…ａｂ と仮定すると、
１１…１の末尾の２桁は、２ａｂ x10 ＋ ｂ2 の末尾の２桁となる。
ところで、１１…１の末尾の数字は１なので、ｂは１か９でなければならない。
もし、ｂが１ならば、末尾から２桁目の数字は２ａｂの末尾の数字である。
ところが、２ａｂは偶数ゆえ、２ａｂの末尾の数字が１となることはありえない。
もし、ｂが９ならば、末尾から２桁目の数字は２ａｂ＋８の末尾の数字である。
ところが、２ａｂ＋８は偶数ゆえ、２ａｂ＋８の末尾の数字が１となることはありえない。
結局、末尾の２桁がともに１である平方数は存在しないので、１１…１も平方数ではない。
よって、４４…４も９９…９も平方数ではない。
証明終わり。