『整数問題一発勝負 Part１』解答

◆石川県　平田和弘　さんからの解答。

(問題１解答)

第n段目をa_nとすると、
a_n−a_n-1＝n　の関係があるので

一般項は、an＝

1 ― 2

・n(n＋1)　と求められる。

従って、

総数＝

n Σ K=1

1 ― 2

k(k＋1)＝

1 ― 6

n(n＋1)(n＋2)

となります。

(問題２解答)

まず列(横の並び)で見ると、6で割った余りで分類したものとみます。
このとき、第6列は1回りしていることに注意して、各列1回ずつ現れるので、
また、行(縦の並び)で見ても、
(6×○＋□)という形の数のうち、○は0から5が必ず1回ずつ現れているので、

a₁、a₂、・・・a₆を互いに異なり、かつ、0から5のどれかとして・・・(A)

　総和
＝[6a₁＋6a₂＋6a₃＋6a₄＋6a₅＋6{a₆＋1}]

という形であらわせるので、

総和＝6{a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆}＋21

このうち、a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆は、(A)より15になるので、

総和＝6・15＋21＝111　で一定となる。

他の例は、対称性(?)を利用して

1. 行(縦の並び)と列(横の並び)を入れ替えたもの。

１	７	13	19	25	31
２	８	14	20	26	32
３	９	15	21	27	33
４	10	16	22	28	34
５	11	17	23	29	35
６	12	18	24	30	36

2. 36から1まで逆に横に順に並べたもの。

36	35	34	33	32	31
30	29	28	27	26	25
24	23	22	21	20	19
18	17	16	15	14	13
12	11	10	９	８	７
６	５	４	３	２	１

等を考えればよい。

８通りはすぐに考えられます。

(問題４)

1になることはわかりますが証明ができません。　

◆広島県　清川　育男　さんからの解答。

【問題１】

答え　n+2Ｃ3＝

１ ６

ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２）

「正三角形の個数は？」の立体版ですかね。

n+2Ｃ4＝

１ ２４

(ｎ−１)ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)　ｎ≧２

「もうひとつの算数チャレンジ」で話題になりました。

【問題２】

６行６列＞５行５列＞４行４列＞３行３列＞２行２列＞１行１列

５回の操作で６個の数字を選んで終わる。
重複した数はないので、結局１から３６までの合計を６等分したことになる。
（論理的飛躍？）。

　（１＋３６）×３６÷２÷６
＝３７×３
＝１１１

元の６行６列の正方行列の
　ある行とある行を交換しても成り立つ。
　ある列とある列を交換しても成り立つ。

１つの６行６列の正方行列から６個の同一？のものが出来る。

　６！×６！÷６
＝６！×５！
＝７２０×１２０
＝８６４００

８６４００通りでしょうか？
（１〜３６の数字を使うとして）

１〜３６にこだわらなければ、連続した３６個の数字を問題のように入れていけばよいと思います。

【問題３】

分子、分母をルートＮで割る。

与式＝１

【出題者のコメント】

【問題１】は清川さんのおっしゃるとおり本質的には
_n+2Ｃ₃となります。

【問題３】ガウス記号を取ったら大小関係はどうなっているか？を出発点にして考えるといいかも。

◆滋賀県　一平ちゃん　さんからの解答。

【問題１】

和をS(n)とする。

S(n)＝１・ｎ＋２・（ｎ−１）＋・・・・＋ｎ・１

＝

n Σ K=1

k(n+1-k)

＝

1 ― 6

ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２)

◆海外　nymc　さんからの解答。

【問題３】

以下、、のいずれも正の数であること、
ならびには無理数なので自然数にはならないこと（背理法を用いて簡単）に注意する。

まず分母と分子のガウス記号内の式の大小関係は、
分子の式＞分母の式。
なぜなら、
(分子の式)²

＝ (分母の式)²

ここで次の事実が成り立つ。

ｋをある自然数としたとき、
　ならば　…（＊）

（＊）は、分子の式　がある自然数ｋを越えていると、それより小さい数である分母の式も同時にその自然数ｋ以上になることを示している。
したがってそれらの整数部分は同じ値をとることになる。
よって、求める答えは「１」。

（＊）の証明：

（＊）の対偶
ｋをある自然数として、
　ならば　を証明する。
は無理数なので実際には等号は成立しないはずだが、以下ではそれも同時に示される。

ならば、両辺を二乗して
4ｎ+1< k²

左辺4ｎ+1は自然数なので4ｎ+1≦k²-1、
よって4ｎ+2≦k²

ここで

（

)

2

＝2n+1+2
＜2n+1+ｎ+(n+1)
＝4ｎ+2
≦ k²

上では相加相乗平均不等式を用いた。
ｎとｎ+1はもちろん等しくないので等号は成立しない。
以上、（＊）の対偶が成立することが示された。

（以上終り）

◆京都府　the king of water gate　さんからの解答。

【問題１】

０≦ｘ≦ｙ≦ｚ＜ｎとなる整数の組(ｘ，ｙ，ｚ)の個数で

０≦ｘ≦ｙ≦ｚ＜ｎ ⇔ ０＜ｘ＋１＜ｙ＋２＜ｚ＋３＜ｎ＋３

(

ｎ＋２ ３

)＝

ｎ(ｎ＋１)(ｎ＋２) ６

。

【問題２】

３６個の数の位置を０以上６未満の整数ｘ，ｙを使って
(ｘ，ｙ)と表すことにする。

選ばれた数がｎ個(０≦ｎ＜６)のときは
それらの位置を(ｘ_i，ｙ_i)(０≦ｉ＜ｎ)とすると

０以上６未満の整数でｘ_i(０≦ｉ＜ｎ)の全てと異なる整数ｘと
０以上６未満の整数でｙ_i(０≦ｉ＜ｎ)の全てと異なる整数ｙがあり
(ｘ，ｙ)にある数を選ぶことができる。

選ばれた数が６個のときは
それらの位置を(ｘ_i，ｙ_i)(０≦ｉ＜６)とすると
どの(ｘ，ｙ)もｘ＝ｘ_iとなるｉがあるので、それ以上選ぶことはできないので、選ばれる数は常に６個になる。

３６個の数全てに同じ数を足しても選ばれる数の合計が一定であるという性質は変わらないので、
−１を足して０以上３６未満の整数とします。

０の位置を(ｓ，ｔ)とし
(ｉ，ｔ)(０≦ｉ＜６)にある数をｐ_i
(ｓ，ｉ)(０≦ｉ＜６)にある数をｑ_i
(ｘ，ｙ)にある数をｒ(ｘ，ｙ)とする。

(ｘ，ｙ)をｘ≠ｓ，ｙ≠ｔとなる位置とし
０以上６未満の整数でｓ，ｘと異なる数をｘ_i(０≦ｉ＜４)
０以上６未満の整数でｔ，ｙと異なる数をｙ_i(０≦ｉ＜４)とすると

ｒ(ｓ，ｔ)＋ｒ(ｘ，ｙ)＋

Σ 0≦i＜4

ｒ(ｘi，ｙi)

＝ｒ(ｘ，ｔ)＋ｒ(ｓ，ｙ)＋

Σ 0≦i＜4

ｒ(ｘi，ｙi) なので

ｒ(ｘ，ｙ)＝ｐ_x＋ｑ_y。

ｘ≠ｓ，ｙ≠ｔのとき
ｒ(ｘ，ｔ)＝ｐ_x＋ｑ_t。
ｒ(ｓ，ｙ)＝ｐ_s＋ｑ_y。
ｒ(ｓ，ｔ)＝ｐ_s＋ｑ_t。

よってどの(ｘ，ｙ)についても
ｒ(ｘ，ｙ)＝ｐ_x＋ｑ_yとなる。

逆にこのとき選ばれる数の合計は
常にΣｐ_i＋Σｑ_iで一定になる。

問題にある並べかたはこのようになっているので、選ばれる数の合計は常に一定になる。

ａ∈Ｎ₀，ｂ∈Ｎ₀，ａ｜ｂのとき

Ｍ_a^b＝｛ｉ｜ｉ∈Ｚ，０≦ｉ＜ｂ，ａ｜ｉ｝とし
Ａ，ＢがＡ⊂Ｎ₀，Ｂ⊂Ｎ₀
ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，ｃ∈Ａ，ｄ∈Ｂ，
ａ＋ｂ＝ｃ＋ｄ→(ａ，ｂ)＝(ｃ，ｄ)のとき、
Ａ＊Ｂを
Ａ＊Ｂ＝｛ａ＋ｂ｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝とする。

Ａ⊂Ｎ₀，Ｂ⊂Ｎ₀，
Ｍ₁³⁶＝Ａ＊Ｂ，｜Ａ｜＝｜Ｂ｜＝６
となるＡ，Ｂの組の個数をｅ個とすると
問題の条件に合う１以上３６以下の整数の並べかたは
全部で６！×６！×ｅ通りになる。

　Ｍ136
＝｛　０，　１，　２，　３，　４，　５｝＊｛　０，　６，１２，１８，２４，３０｝
＝｛　０，　１，　２，　６，　７，　８｝＊｛　０，　３，１２，１５，２４，２７｝
＝｛　０，　１，　２，　９，１０，１１｝＊｛　０，　３，　６，１８，２１，２４｝
＝｛　０，　１，　２，１８，１９，２０｝＊｛　０，　３，　６，　９，１２，１５｝
＝｛　０，　１，　４，　５，　８，　９｝＊｛　０，　２，１２，１４，２４，２６｝
＝｛　０，　１，　６，　７，１２，１３｝＊｛　０，　２，　４，１８，２０，２２｝
＝｛　０，　１，１２，１３，２４，２５｝＊｛　０，　２，　４，　６，　８，１０｝

６！×６！×１４＝７２５７６００。

	２４	１２	０	２	１４	２６
８	３３	２１	９	１１	２３	３５
４	２９	１７	５	７	１９	３１
０	２５	１３	１	３	１５	２７
１	２６	１４	２	４	１６	２８
５	３０	１８	６	８	２０	３２
９	３４	２２	１０	１２	２４	３６

(１)
Ａ＊Ｂ，Ｂ＊Ａのどちらかが存在すれば、もう一方も存在して
Ａ＊Ｂ＝Ｂ＊Ａ。

(２)
(Ａ＊Ｂ)＊Ｃ，Ａ＊(Ｂ＊Ｃ)のどちらかが存在すれば、もう一方も存在して
(Ａ＊Ｂ)＊Ｃ＝Ａ＊(Ｂ＊Ｃ)。

(３)
Ａ＊｛０｝＝｛０｝＊Ａ＝Ａ。

(４)
Ｍ₁³⁶は｛０｝を使わずさらに分解できて

　Ｍ136
＝Ｍ12＊Ｍ24＊Ｍ412＊Ｍ1236
＝Ｍ12＊Ｍ26＊Ｍ612＊Ｍ1236
＝Ｍ12＊Ｍ26＊Ｍ618＊Ｍ1836
＝Ｍ13＊Ｍ36＊Ｍ612＊Ｍ1236
＝Ｍ13＊Ｍ36＊Ｍ618＊Ｍ1836
＝Ｍ13＊Ｍ39＊Ｍ918＊Ｍ1836。

Ａ⊂Ｎ₀に対してｆ_aを

ｆ_a(ｎ)＝０(ｎ∈Ａでない)
ｆ_a(ｎ)＝１(ｎ∈Ａ)

と定義すると、

Ａ＊Ｂが存在する ⇔ ∀ｎ((ｆa＊ｆB)(ｎ)≦１)

(６) ｑ_i(０≦ｉ)が全て素数のとき

Ｎ0＝Ｍ1q0＊Ｍq0ｑ0ｑ1＊Ｍq0q1q０ｑ1ｑ2＊．．．。

(８)

Ｎ×Ｎに並べた数が問題２の条件を満たす。⇔(ｘ，ｙ)＝ｐx＋ｑyと表される。

【問題３】

　４ｎ＋１
＝ｎ＋２ｎ＋(ｎ＋１)

≦ｎ＋２

＋(ｎ＋１)

＝(

)

2

＜ｎ＋２(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)
＝４ｎ＋３。

４ｎ＋２は平方数でないので
ｍ²＜４ｎ＋２＜(ｍ＋１)² となる整数ｍがある。

ｍ²≦４ｎ＋１＜４ｎ＋２＜４ｎ＋３≦(ｍ＋１)²。

ｍ²≦４ｎ＋１

≦(

)

2

＜４ｎ＋３
≦(ｍ＋１)²。

ｍ≦

≦

＜ｍ＋１。

よって

ｍ＝int(

)＝int(

)

なので１になる。

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