『コインの分別』解答

◆広島県　清川　育男　さんからの解答。

【問題１】

左から１個、４個、９個取って計量するように指示する。

３！＝６
６通りに異なった数を対応させることが出来る。

対応表は下記の通りです。
例えば２３ｇだとすると、
左から２ｇ，３ｇ，１ｇとなる。

１．	1	2	3	36
２．	1	3	2	31
３．	2	1	3	33
４．	2	3	1	23
５．	3	1	2	25
６．	3	2	1	20

 20 23 25 31 33 36
   3  2  4  2  3

【問題２】

左から１個、８個、２７個、６４個取って計量するように指示する。

４！＝２４
２４通りに異なった数を対応させることが出来る。

対応表は下記の通りです。
例えば３１０ｇだとすると、左から　２ｇ，１ｇ，４ｇ，３ｇとなる。

１．	1	2	3	4	354
２．	1	2	4	3	317
３．	1	3	2	4	335
４．	1	3	4	2	261
５．	1	4	2	3	279
６．	1	4	3	2	242
７．	2	1	3	4	347
８．	2	1	4	3	310
９．	2	3	1	4	309
10．	2	3	4	1	198
11．	2	4	1	3	253
12．	2	4	3	1	179
13．	3	1	2	4	321
14．	3	1	4	2	247
15．	3	2	1	4	302
16．	3	2	4	1	191
17．	3	4	1	2	190
18．	3	4	2	1	153
19．	4	1	2	3	258
20．	4	1	3	2	221
21．	4	2	1	3	239
22．	4	2	3	1	165
23．	4	3	1	2	183
24．	4	3	2	1	146

146		153		165		179		183		190
	7		12		14		4		7		1

191		198		221		239		242		247
	7		23		18		3		5

	253		258		261		279		302		309
6		5		3		18		23		7

	310		317		321		335		347		354
1		7		4		14		12		7

【問題３】

左から
１,２^n-1,３^n-1,.....,ｎ^n-1個取って計量すれば、
ｎ！通りに異なった数を１：１対応させることが可能だと思います。

対応表を使わないで計量した数が何番目の順列に対応するかの一般式が判然としません。
最大と最小の計量数は、わかりますがその間を埋める数列がつかめません。
最小から最大までならびかえてその階差数列を作ると、綺麗な対称性がみられます。

【コメント】

階差数列が本当にきれいですね。
ただコインの枚数はさらに減らせるようです。
例えばＮ＝３なら１個、２個、４個で可能です。

順序			重さ
1	2	3	17g
1	3	2	15g
2	1	3	16g
2	3	1	12g
3	1	2	13g
3	2	1	11g

◆広島県　清川　育男　さんからの解答。

【問題２】

最小の個数でという条件を無視していました。

左の箱から、
１個，２個，５個，１５個の計２３個取るように指示する。
４！＝２４
２４通りに対して異なる計量数が１：１対応しています。

例えば５５ｇのとき、左から
３ｇ，１ｇ，４ｇ，２ｇの箱となる。
対応表は以下の通りです。

１．	1	2	3	4	80
２．	1	2	4	3	70
３．	1	3	2	4	77
４．	1	3	4	2	57
５．	1	4	2	3	64
６．	1	4	3	2	54
７．	2	1	3	4	79
８．	2	1	4	3	69
９．	2	3	1	4	73
10．	2	3	4	1	43
11．	2	4	1	3	60
12．	2	4	3	1	40
13．	3	1	2	4	75
14．	3	1	4	2	55
15．	3	2	1	4	72
16．	3	2	4	1	42
17．	3	4	1	2	46
18．	3	4	2	1	36
19．	4	1	2	3	61
20．	4	1	3	2	51
21．	4	2	1	3	58
22．	4	2	3	1	38
23．	4	3	1	2	45
24．	4	3	2	1	35

Ｎ＝２〜４では規則性がはっきりしないのでＮ＝５〜６をプログラムで検索します。

◆広島県　清川　育男　さんからの解答。

度々解答を訂正したので、整理してみます。

	取り方	計量した 個数
Ｎ＝１	１	１個
Ｎ＝２	１，２	３個
Ｎ＝３	１，２，４	７個
Ｎ＝４	１，２，５，１５	２３個
Ｎ＝５	１，３，６，２２，９２	１２４個

◆広島県　清川　育男　さんからの解答。

アルゴリズムで試行錯誤しました。

結局、
１，２⁵，３⁵，４⁵，５⁵，６⁵
の取り方は最小ではないが、
一応１：１の対応を満足するので、大きい数のほうから１ずつ減らすという方法にたどりつきました。

Ｎ＝６
１，７，３５，１７５，２５８，９９３
計　１４６９個

最小の個数でという条件は厳しいですね。

◆広島県　清川　育男　さんからの解答。

Ｎ＝７
７！＝５０４０
５０４０通りに１：１対応

1 2 20 45 271 1727 11392

計　13458個

自信はないのですが、報告します。
素数がどのように関係しているのか？。

◆宮城県　tellurium　さんからの解答。

N=5までではまだ予測がつかないのでN=6,7の場合をコンピュータで計算してみました。
N=5までの最小解は清川さんのものが正しいと思います。

N=6のときの個数の少ない解ベスト10

[ 1,  8, 10, 34, 167, 897 ] 1117
[ 1,  3, 13, 34, 169, 907 ] 1127
[ 1, 20, 26, 40, 172, 880 ] 1139
[ 1, 14, 41, 43, 173, 869 ] 1141
[ 1,  3, 12, 33, 171, 924 ] 1144
[ 1, 17, 32, 35, 173, 887 ] 1145
[ 1, 16, 27, 39, 173, 890 ] 1146
[ 1, 11, 14, 35, 172, 913 ] 1146
[ 1, 13, 20, 35, 172, 906 ] 1147
[ 1, 15, 16, 39, 172, 907 ] 1150

[ 1, 21, 36, 50, 264, 1634, 10738 ] 12744
[ 1, 21, 29, 50, 264, 1648, 10837 ] 12850
[ 1, 16, 54, 55, 273, 1661, 10839 ] 12899
[ 1, 17, 29, 50, 264, 1656, 10885 ] 12902
[ 1,  5, 15, 44, 258, 1658, 10943 ] 12924
[ 1,  7, 15, 44, 258, 1658, 10943 ] 12926
[ 1, 26, 36, 50, 269, 1659, 10903 ] 12944
[ 1, 22, 50, 75, 281, 1673, 10874 ] 12976
[ 1, 25, 43, 50, 272, 1668, 10946 ] 13005
[ 1, 24, 55, 56, 278, 1676, 10945 ] 13035
[ 1,  4,  8, 41, 255, 1671, 11056 ] 13036

取り方	総数
1	1
1, 2	3
1, 2, 4	7
1, 2, 5, 15	23
1, 3, 6, 22, 92	124
1, 8, 10, 34, 167, 897	1117
1, 21, 36, 50, 264, 1634, 10738	12744

ますます分からなくなってきたので、少し方向性を変えて1,2,Nで始まる最小解について考えてみました。

取り方	総数
1	1
1, 2	3
1, 2, 4	7
1, 2, 5, 15	23
1, 2, 6, 23, 99	131
1, 2, 7, 33, 173, 951	1167
1, 2, 8, 45, 279, 1794, 11820	13949
1, 2, 9, 59, 423, 3121, 23463, 179347	206425

これだと少し法則性が見えてきます。

例えば15,23,33,45,59,...は N²-N+3のようですし

99,173,279,423,...は N³-2N²+5N-1、

951,1794,3121,...は N⁴-3N³+10N²-11N+9、

11820,23463,...は N⁵-4N⁴+17N³-30N²+39N-17

になると思われます。

しかしこれらの多項式がどういう規則でできているのか全く分かりません。

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