『xが存在する範囲の長さ』解答


◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。

【解答】 2004

167と7には特に意味がなく、また図にすると多すぎて見にくいので

K=1,3,5,7
K
x-K
≧1の場合で説明します。

この式の左辺はx=1、3、5、7に極を持つので、下図のように、1と3、3と5、5と7、7と∞の間に少なくとも1個交点(実数解)があります。

一方、左辺=1は分母(≠0)を払うと、4次方程式であり、解は結局各区間に1個です。

よってその4つの解をα,β,γ,δとすると、
答えはα+β+γ+δ―(1+3+5+7)です。 

 分母を払ったxの4次方程式の4次の係数は1です。
また3次の係数は−2*(1+3+5+7)です。

よって α+β+γ+δ=2*(1+3+5+7)/1=32です。

つまり答えは32−16=16です。

本題も同様で (1〜167の和)/7で計算できます。

【感想】

新年にふさわしい問題ですね。
略解の方はお気づきと思いますが 平成の16にしました。
なお本家の解答は http://math.ymsh.tp.edu.tw/exams/IMO/isoln884.htmlにありますね。


 『xが存在する範囲の長さ』

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