数学の部屋へもどる◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
1，4，3，2
【問題２】
1，2，4，5，6，3，8，7，9
【問題３】
1，2，5，6，3，7，8，4，9，
10，14，13，12，15，11，16
【問題４】
1，2，6，7，3，4，8，9，10，
5，11，12，16，17，13，14，18，
19，20，15，22，21，24，23，25
【おまけ】
左上隅から右方向に進めて行くとき、○○○・・・・○○
・・・・・・・・・
○○○・・・・○○
×××・・・・××
□□□・・・・□□
・・・・・・・・・
・・・・・・・・・
のように操作することが可能である。
そして右下隅の最終局面を、
Ｎが奇数の場合・・・・・・・・・
○○○○
○×××
×□□□
例えばＮ＝５
1，2，6，7，3，4，8，9，10，
5，11，12，16，17，13，14，18，
19，20，15，22，21
Ｎが偶数の場合○××
×□□
×□□
例えばＮ＝４
1，2，5，6，3，7，8，4，9，10，14，13
のように操作可能である。
この局面はすべて○にすることが可能である。
したがって、任意のＮ×Ｎの場合で可能である。
◆兵庫県 秀蔵 さんからの解答
２＊２，３＊３、４＊４、５＊５と解いて行くうちに規則性が分かりました。
ｎ＊ｎマスの正方形をすべて丸で埋めれると分かれば、
（n + 1)*(n + 1)マスの正方形は以下の方法で、すべて丸に出来ます。
まず１行目を右から順に丸を入れてきます。
最後の左端はこの時入れません。
次に１列目を下から順に埋めていきます。
すると、下の図のようになります。○×××・・・・・・×
×
×
×
・
・
・
・
・
×
まだ埋めていない部分を、ｎ＊ｎマスの正方形をすべて丸で埋める方法で埋めます。
当然、このｎ＊ｎ部分はすべて丸となります。
端の×は、となりに丸が置かれた時のみに丸になりますから、結局すべてのマスが丸で埋められる事が分かります。
２＊２では １、４、２、３とすればすべて丸になる事が分かりますので、
ｎ＊ｎマスでもすべて丸に出来る事が分かります。
◆三重県 もりくん さんからの解答
【問題１】
1,4,2,3
【問題２】
1,5,9,3,7,2,4,8,6
【おまけ】（問題3と問題4も含めて）
まず、下のような状態になることを目指す。○ＸＸ・・・Ｘ○
Ｘ Ｘ
Ｘ Ｘ
・ ・
・ ・
・ ・
Ｘ Ｘ
○ＸＸ・・・Ｘ○
こうなるには、
１、左上と、右下を○にする。
２、左上の下と右、右下の上と左を○にする。
○○
○
○
○○
３、左上から下と右へ、右下から上と左へ順番に○にしていき、左下と、右上だけ残す。
○Ｘ・・Ｘ○
Ｘ ○
・ Ｘ
・ ・
Ｘ ・
○ Ｘ
○Ｘ・・Ｘ○
４、最後に左下と右上を○にすることによって、目指していた状態にする。
ここで、目指していた状態の、まだ印を付けていないところ（中心部分）が、すべて○に出来たとすると、目指していた状態のＸの部分は、すべて○になるはずである。
（なぜなら、Ｘになっているところの横を必ず1回○にするから）
これより、問題1 (2x2) から問題3 (4x4) が解けるようになり、
問題3 (4x4) から (6x6) と、n が偶数の時のすべてができることになり、
同じように問題2 (3x3) から問題4 (5x5) が解けるようになり、とつづき、n がすべての奇数のときにも出来るようになる。
（n = 1 は自明）
よって、いかなる自然数 n についても、すべてのマスを○にすることができる。
◆栃木県 小泉 浩 さんからの解答
【問題１】
1，4，2，3
【問題２】
1，2，4，9，8，6，7，5，3
【問題３】
1，2，5，9，6，3，16，12，15，8，11，14，13，10，7，4
【問題４】
1，2，6，3，7，11，4，8，12，16，25，20，24，15，19，23，10，14，18，22，21，17，13，9，5
│ １│ ３│ ４│ 10│ │ 図のように対角線を残して両角から○を番号順に入れていく
│ ２│ ５│ ９│ │ 17│
│ ６│ ８│ │ 18│ 16│
│ ７│ │ 19│ 15│ 12│
│ │ 20│ 14│ 13│ 11│
│ １│ ３│ ４│ 10│ 25│ 最後に対角線を下から順に○を入れていけばできる。
│ ２│ ５│ ９│ 24│ 17│
│ ６│ ８│ 23│ 18│ 16│
│ ７│ 22│ 19│ 15│ 12│
│ 21│ 20│ 14│ 13│ 11│ ｎ×ｎになっても同じやり方をすればよい。感想 対角線を残すことに気づくとすぐにできました。
◆鹿児島県 ともひろ さんからの解答
【問題１】
【解】1，4，2，3
【問題２】
【解】1，2，4，9，6，8，3，5，7
【問題３】
【解】
1，2，5，3，6，9，16，15，
12，14，11，8，4，7，10，13
【問題４】
【解】
1，2，6，3，7，11，4，8，12，
16，25，24，20，23，19，15，22，
18，14，10，5，9，13，17，21
【おまけ】
【解】（ｎ×ｎにおいてすべてを○にできる証明）
1. ｎ＝１の場合＋−＋
｜○｜
＋−＋
2. ｎ＝２の場合、問題１の解より可能
＋−＋−＋ ＋−＋−＋ ＋−＋−＋ ＋−＋−＋
｜○｜ ｜ ｜○｜ ｜ ｜×｜○｜ ｜○｜○｜
＋−＋−＋ ＋−＋−＋ ＋−＋−＋ ＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜ ｜ ｜×｜ ｜○｜○｜
＋−＋−＋ ＋−＋−＋ ＋−＋−＋ ＋−＋−＋
3. ｎ＝３の場合、問題２の解より可能＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
｜○｜ ｜ ｜ ｜×｜○｜ ｜ ｜○｜○｜ ｜
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜ ｜ ｜
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
｜○｜○｜ ｜ ｜○｜○｜ ｜ ｜○｜○｜ ｜
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
｜○｜ ｜ ｜ ｜○｜ ｜ ｜ ｜○｜ ｜○｜
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
｜ ｜ ｜○｜ ｜ ｜○｜×｜ ｜ ｜○｜○｜
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
｜○｜×｜○｜ ｜○｜○｜○｜ ｜○｜○｜○｜
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
｜○｜ ｜×｜ ｜×｜○｜○｜ ｜○｜○｜○｜
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
｜ ｜○｜○｜ ｜ ｜×｜○｜ ｜○｜○｜○｜
＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋
4.ｎ≧４の場合、左上の隅から○を付けていくと、＋−＋−＋− ＋−＋−＋− ＋−＋−＋ ＋−＋−＋
｜○｜ ｜ ｜×｜○｜ ｜○｜○｜ ｜○｜◎｜
＋−＋−＋− ＋−＋−＋− ＋−＋−＋ ＋−＋−＋ とする。
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜ ｜ ｜●｜ ｜
＋−＋−＋− ＋−＋−＋− ＋−＋−＋ ＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
◎を基準にすると、−＋−＋−＋− −＋−＋−＋− −＋−＋−＋−
○｜◎｜ ｜ ○｜×｜○｜ ○｜◎｜○｜
−＋−＋−＋− −＋−＋−＋− −＋−＋−＋−
●｜ ｜ ｜ ●｜ ｜ ｜ ●｜○｜ ｜
−＋−＋−＋− −＋−＋−＋− −＋−＋−＋−
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
↑＜この列の部分の変化は無し。＞
となり、「左上の隅から○」をつけていく図と変わらない。
また、●を基準にすると、
○｜◎｜ ｜ ○｜◎｜○｜ ○｜◎｜○｜ ←＜この行の部分は変化無し。＞
−＋−＋−＋− −＋−＋−＋− −＋−＋−＋−
●｜ ｜ ｜ ×｜○｜ ｜ ●｜○｜ ｜
−＋−＋−＋− −＋−＋−＋− −＋−＋−＋−
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ○｜ ｜ ｜
−＋−＋−＋− −＋−＋−＋− −＋−＋−＋−
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
となり、「左上の隅から○」をつけていく図と変わらない。
そこで、左上の隅から○をつけていき、基準を右にずらし下へ指定していく。＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜○｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜×｜○｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜○｜○｜ ｜○｜ ｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜○｜○｜ ｜ ｜ ｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜○｜○｜ ｜ ｜ ｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
このとき、右上から左下への対角線上のマス目を空白に残しておく。
次に、「右下の隅から○」をつけていく。
これは、上記の説明を回転させたものである。
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜○｜○｜○｜ ｜○｜ ｜ ｜○｜○｜○｜ ｜○｜ ｜ ｜○｜○｜○｜ ｜○｜ ｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜○｜○｜○｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜○｜○｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜○｜○｜ ｜ ｜○｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜○｜○｜○｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜○｜○｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜○｜○｜ ｜○｜○｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜○｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜ ｜○｜ ｜○｜○｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜○｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜×｜○｜ ｜ ｜○｜○｜ ｜○｜○｜
＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋ ＋−＋−＋−＋−−＋−＋−＋
「右上の隅から○」をつけていく。「△」は「○から×へ変化して○」になったものを表す。
（ｎｘｎのマス目の右上部）−＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋
○｜○｜○｜ ｜ ○｜○｜×｜○｜ ○｜○｜△｜○｜ ○｜○｜△｜○｜
−＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋
○｜○｜ ｜○｜ ○｜○｜ ｜×｜ ○｜×｜○｜△｜ ○｜△｜○｜△｜
−＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋
｜ ｜○｜○｜ ｜ ｜○｜○｜ ○｜ ｜×｜○｜ ×｜○｜△｜○｜
−＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋ −＋−＋−＋−＋
○｜○｜○｜ ｜○｜○｜○｜ ｜○｜○｜○｜ ｜×｜○｜○｜
（ｎｘｎのマス目の左下部） ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋−
｜○｜×｜○｜ ｜○｜△｜○｜ ｜○｜△｜○｜ ｜○｜○｜○｜
＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋−
｜○｜ ｜×｜ ｜×｜○｜△｜ ｜△｜○｜△｜ ｜○｜○｜○｜
＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋−
｜ ｜○｜○｜ ｜ ｜×｜○｜ ｜○｜△｜○｜ ｜○｜○｜○｜
＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋− ＋−＋−＋−＋−
したがって、「ｎｘｎのマス目において、すべて○にできる」
（証明終わり）
●感想
証明は簡単に表したかったのですが、図の方がわかりやすいだろうとこうなりました。
（ある２ｘ２のマス目の内で、三つのマス目を○にする手順の繰り返し、 対角線に○を入れていく）ということです。
◆群馬県の中学校３年生 片岡中の数学好きチーム さんからの解答
【おまけ】
ｎ×ｎで必ずできる方法です。
ｎ＝４で説明します。 １２３４
ａ□□□■
ｂ□□■□
ｃ□■□□
ｄ■□□２
どこでも良いのですが、斜め１列（上図の■）を最後に残します。
最初は、□の三角地帯を埋めていきます。
まず１−ａに○を置きます。
ついで２−ａ，１−ｂと斜めに順に置きます。
次に３−ａから１−ｃにかけての斜めに順に置きます。
これで、左上の三角地帯の□がすべて○になりました。
同様にして、右下の三角地帯もすべて○にできますね。
最後に■の斜め地帯を４−ａからでも、１−ｄからでも良いですから、順番に埋めていきます。
これで、すべて○になります。
この方法でｎがいくつでも、絶対に全部○にできます。
＃前の手で×になってしまったところが、次の手で必ず○に戻るところが、この方法の美しいところです。
ちなみに、ｎ＝２のときは、 １２
ａ□■
ｂ■□
ですから、三角地帯は□１つになりますが、これを○にしてから■の斜め地帯を埋めれば全部○にできます。
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