数学の部屋へもどる。◆北海道 近ドー さんからの解答。
５００円玉→１枚
１００円玉→１枚
５０円玉→２枚
１０円玉→１枚
５円玉→３枚
１円玉→５枚
１３枚で、７３０円。(=1000-270)
すべてのコイン（500,100,50,10,5,1円。６枚で６６６円）が必ずあるので、
残り７枚(=13-6)で、６４円。(=730-666)
４円分は、１円玉でしか作れないので、ここで１円玉が４枚登場。
よって、残り３枚(=7-4)で、６０円。(=64-4)
この中（３枚で６０円）には、必ず５０円玉がないとまずい。
（１０円玉を３枚かきあつめても、６０円にはなりっこないから）
よって、残り２枚(=3-1)で、１０円。(=60-10)
これは、５円玉２枚ということになる。
（以上の構成から、他の組み合わせは無い、、、）
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
１０００円で２７０円の買い物をしたのであるから、お釣りは７３０円となる。
またどのコインもポケットにあるので、まず５００円硬貨は１個あることになる。
７３０−５００＝２３０。
つぎに１００円硬貨は何個かを考える。
仮に２個あったとすれば、５０円硬貨が持てないことになるので、１００円硬貨もまた１個あることになる。
２３０−１００＝１３０。残りの硬貨の個数は１１個。
つぎに５０円硬貨は何個かを考える。
３個はありえないので、１個か２個ということになる。
仮に１個の場合を考える。
１３０−５０＝８０。残りの硬貨の個数は１０個。
１０円硬貨がＸ個、５円硬貨がＹ個。１円硬貨がＺ個とする。Ｘ、Ｙ、Ｚは自然数。
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１０．．．．．．．．１）
１０Ｘ＋５Ｙ＋Ｚ＝８０．．．．．２）
２）−１）
９Ｘ＋４Ｙ＝７０．．．．．．．．３）
３）式をみたす自然数Ｘ、Ｙはどうなるか。
９Ｘ＝２（３５−２Ｙ）、Ｙ≦７。
（３５−２Ｙ）が９の倍数になるのは、Ｙ＝４のとき２７しかない。
このときＸはＸ＝６。Ｘ＋Ｙ＝１０。
１円硬貨がないことになってしまう。これは題意に反する。
したがって５０円硬貨は２個ということになる。
１３０−５０×２＝３０。残りの硬貨の個数は９個。
Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝９．．．．．．．．．４）
１０Ｘ＋５Ｙ＋Ｚ＝３０．．．．．５）
つぎに１円硬貨は何個かを考える。５個しかありえない。Ｚ＝５。
Ｘ＋Ｙ＝４．．．．．．．．．．．６）
１０Ｘ＋５Ｙ＝２５．．．．．．．７）
６）、７）よりＸ＝１、Ｙ＝３となる。
答え ５００円硬貨 １個。
１００円硬貨 １個。
５０円硬貨 ２個。
１０円硬貨 １個。
５円硬貨 ３個。
１円硬貨 ５個。
計１３個 ７３０円。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
残っている金額は、１０００−２７０＝７３０（円）です。
１円は５枚単位で持っているはずです。
まず、５００円、１００円、５０円、１０円、５円、１円を最低１枚は持っているので、 その金額は、
５００＋１００＋５０＋１０＋５＋５＝６７０（円）
枚数は、１０枚です。
残りは、７３０−６７０＝６０（円）
硬貨３枚で６０円の作り方は、５０＋５＋５
答え ５００円１枚、１００円１枚、５０円２枚、１０円１枚、５円３枚、１円５枚
昔は５００円は紙幣だったのにねぇ。
◆神奈川県 桑村 陽一 さんからの解答。
５００円玉 ・・・ １枚
１００円玉 ・・・ １枚
５０円玉 ・・・ ２枚
１０円玉 ・・・ １枚
５円玉 ・・・ ３枚
１円玉 ・・・ ５枚
ポケットに入っているコインは、
１０００円 − ２７０円 ＝ ７３０円
ですが、５００円玉が１枚入っていることから残りは２３０円になります。
（∵５００円玉が２枚以上だと７３０円を越えちゃいます。）
ということで、これからは１２枚のコインを使って、残りの２３０円にするという問題を考えます。
まず、コインは１００円玉、５０円玉、１０円玉、５円玉、１円玉の５種類ですから、すべてのコインを使うという条件から１種類のコインの最大数は８枚（１２枚−４枚）になります。
そこで、１円玉に着目すると１〜８枚になりますが、残りは２３０円という条件から５枚ということがわかります。
（５枚以外だと２３０円ぴったりになりませんからね。）
よって、問題は１００円玉、５０円玉、１０円玉、５円玉の４種類のコインを７枚（１２枚−５枚）使って２２５円（２３０円−１円×５枚）にするということになります。
ここで、もし１００円玉を２枚とすると、残りは２５円（２２５円−２００円）になりますが、５０円玉が使えなくなってしまうため、１００円玉は１枚であることがわかります。
あと残っているコインは５０円玉、１０円玉、５円玉の３種類で、これらを６枚（７枚−１枚）使って１２５円（２２５円−１００円）になればよいのですが、もし、５０円玉を１枚とすると、残りは７５円（１２５円−５０円）となり、残りの１０円玉と５円玉ではコインの数がオーバーしてしまうため、５０円玉は２枚でなければなりません。
あとは、残りの２５円（１２５円−５０円×２枚）を１０円玉と５円玉を４枚（６枚−２枚）使って表わせばよいのですから、１０円玉が１枚、５円玉が３枚ということになります。
◆山形県の高校生 ギスケ2号 さんからの解答。
500円1枚、100円1枚、50円2枚、10円1枚、5円3枚、1円5枚。
まず、１まいずつあるので、その分をとってしまって残り６４円。
１円を４枚で、残り３枚で６０円。
あとは当てはまる組み合わせを考えました。
絵がかわいいと思いました。
今、数学の課題で頭が混乱していたのでなんかすっきりした気分になりました。
これからは、わたしも毎週この問題たちに挑戦してみようかなあと思いました。
◆大阪府の中学校３年生 まさみさんからの解答。
５００円玉 ・・・ １枚
１００円玉 ・・・ １枚
５０円玉 ・・・ ２枚
１０円玉 ・・・ １枚
５円玉 ・・・ ３枚
１円玉 ・・・ ５枚
まず、おつり７３０円のうち１枚は５００円玉。
（２枚以上は７３０円を超えるからだめ。）
次に、１円玉は５枚。（１０枚だと１３枚を超えるからだめ）
５円玉は１枚か３枚。
５円玉１枚のとき１０円玉は２枚で、残り１００円玉と５０円玉合計４枚で２００円を作ることはできない。
５円玉３枚のときは１０円玉１枚で、のこり１００円玉と５０円玉合計３枚で２００円を作るには１００円玉１枚５０円玉２枚となる。
◆岡山県 AZ さんからの解答。
500円玉 a枚
100円玉 b枚
50円玉 c枚
10円玉 d枚
5円玉 e枚
1円玉 f枚 とすると、
500a+100b+50c+10d+5e+f=730 ・・・@
a+b+c+d+e+f=13 ・・・A
a>0,b>0,c>0,d>0,e>0,f>0 ・・・B
@,Bからa=1は明らか。
これを@,Aに代入すると
100b+50c+10d+5e+f=230 ・・・@'
b+c+d+e+f=12 ・・・A'
@',Bよりb=1もしくはb=2がわかる。
b=2を@'へ代入すると
50c+10d+5e+f=30 となりBに矛盾。
したがってb=1しかないことがわかる。
b=1を@',A'に代入すると
50c+10d+5e+f=130 ・・・@''
c+d+e+f=11 ・・・A''
@'',Bよりc=1,c=2のいずれかであることが分かる。
c=2の場合
10d+5e+f=30 ・・・@'''
d+ e+f=9 ・・・A'''
@''',Bよりd=1,d=2のいずれかであることが分かる。
d=1の場合
5e+f=20
e+f=8
これを解くとe=5,f=3がえられる。
d=2の場合
5e+f=10
e+f=7
これを解くと-4f=-25となり自然数では不可能。
同様にしてc=1の場合も自然数では不可能なことが分かる。
したがって、解は(a,b,c,d,e,f)=(1,1,2,1,5,3)となる。
◆兵庫県 山口 貴広 さんからの解答。
500円玉の枚数をｘ枚、100円玉の枚数をｙ枚、50円玉の枚数をｚ枚、10円玉の枚数をｗ枚、5円玉の枚数をｖ枚、1円玉の枚数をｓ枚とする。
５００ｘ＋１００ｙ＋５０ｚ＋１０ｗ＋５ｖ＋ｓ＝７３０・・・・@
ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＋ ｗ ＋ ｖ ＋ ｓ ＝１３・・・・A
（ただし、ｘ、ｙ、ｚ、ｗ、ｖ、ｓは１以上の整数とする。）
まず最初に、ｘについて考えてみると
ｘ≧２ならば、@より
５００ｘ＋１００ｙ＋５０ｚ＋１０ｗ＋５ｖ＋ｓ≧７３０
となることより、矛盾。
よって、ｘ＝１であることがわかることから、@、Aにそれぞれｘ＝１を代入すると
１００ｙ＋５０ｚ＋１０ｗ＋５ｖ＋ｓ＝２３０・・・・B
ｙ＋ｚ＋ｗ＋ｖ＋ｓ ＝１２・・・・C
Cより ｓ＝１２−（ｙ＋ｚ＋ｗ＋ｖ）・・・・D
DをBに代入すると
１００ｙ＋５０ｚ＋１０ｗ＋５ｖ＋１２−（ｙ＋ｚ＋ｗ＋ｖ）＝２３０
９９ｙ＋４９ｚ＋９ｗ＋４ｖ＝２１８
９（１１ｙ＋ｗ）＋４（１２ｚ＋ｖ）＝２１８−ｚ
ここで、１１ｙ＋ｗ＝Ａ、１２ｚ＋ｖ＝Ｂとおくと、上の式は、下記のようにおける。
９Ａ＋４Ｂ＝２１８−ｚ・・・・E
Eを用いて、ｚについて考えると
・ｚ＝１のとき （すなわち、Ｂ＝１２＋ｖのとき）
９Ａ＋４（１２＋ｖ）＝２１７
９Ａ＋４ｖ＝１６９
９Ａ＝１６９−４ｖ
ここで、Ａは整数であることから、１６９−４ｖは９の倍数でなければならない。
しかし、１６９−４ｖが、９の倍数となるのは、ｖが１３の倍数でなければならないが、ｖの範囲は、Aより、１≦ｖ≦８であることより、矛盾。
・ｚ＝２のとき（すなわち、Ｂ＝２４＋ｖのとき）
９Ａ＋４（２４＋ｖ）＝２１６
９Ａ＋４ｖ＝１２０
９Ａ＝１２０−４ｖ＝４（３０−ｖ）・・・・F
ここで、Ａは整数であることから、４（３０−ｖ）は９の倍数でなければならないことより
４（３０−ｖ）が９の倍数となるのは、ｖ＝３、１２、２１のときで、ｖの範囲を満たしているのは、ｖ＝３であることから、これをFに代入すると
９Ａ＝４（３０−３）＝１０８
Ａ＝１２
Ａ＝１１ｙ＋ｗより、Ａ＝１２を満たす整数ｙ、ｚを考えると（ｙ,ｗ）＝（１,１）のみが考えられる。
Cより １＋２＋１＋３＋ｓ＝１２
ｓ＝５
以上より、求める解は
（ｘ,ｙ,ｚ,ｗ,ｖ,ｓ）＝（１,１,２,１,３,５）
よって、求める枚数は、500円玉 1枚、100円玉 1枚、50円玉 2枚、10円玉 1枚、5円玉 3枚、1円玉 5枚である。
◆神奈川県 のぉえい さんからの解答。
１０００−２７０＝７３０(円)
→５００円は１枚以上は存在しない
∵２枚だと１０００円になる
７３０−５００＝２３０
→１００円は１枚以上存在しない
∵２枚だと２００円となり５０円が存在し得ない
２３０−１００＝１３０、これを５０、１０、５、１円計１１枚で組み合わせて作る
ここで１円は５枚となる
∵１０枚では明らかに枚数オーバー、それ以外では端数が出る
１３０−５＝１２５、これを５０、１０、５円計６枚の組み合わせ
ここで５０円は２枚
∵１枚では残り７５円となり、金額不足
１２５−１００＝２５、これを１０、５円４枚で組み合わせるので１０円１枚、５円３枚となる
∴５００円１枚、１００円１枚、５０円２枚、１０円１枚、５円３枚、１円５枚・・・（解)
◆石川県の高校生 Y.H.Vさんからの解答。
１０００円持っていて２７０円使ったので残りは １０００−２７０＝７３０ ７３０円になる。
各硬貨を最低一枚持っているので
１円玉 ×１＝１
５円玉 ×１＝５
１０円玉 ×１＝１０
５０円玉 ×１＝５０
１００円玉 ×１＝１００
５００円玉 ×１＝５００
計６６６円であと硬貨７枚残っている。
７３０−６６６＝６４
残り６４円分なので１００，５００円玉はないことになる。
１の位が４なので、一円玉があと４枚必要になる。
そうすると、残り６０円分で硬貨は３まいとなる。
５，１０，５０円玉３枚で６０円なので５０円玉が一枚は必要になる、
よって６０−５０＝１０
残り１０円分で硬貨は２枚になるので、残りは５円玉２枚である。
答え…１円玉５枚，５円玉３枚，１０円玉１枚，５０円玉２枚，１００円玉１枚，５００円玉１枚
◆大阪府 ちゅうれん さんからの解答。
これはいくら持ってるかが書かれてないのがミソですね。
| 500円玉 | 1枚 | 1枚 | 1枚 |
| 100円玉 | 1枚 | 1枚 | 1枚 |
| 50円玉 | 2枚 | 1枚 | 1枚 |
| 10円玉 | 1枚 | 5枚 | 4枚 |
| 5円玉 | 3枚 | 3枚 | 5枚 |
| 1円玉 | 5枚 | 2枚 | 1枚 |
| 計 | 13枚 | 13枚 | 13枚 |
| 金額 | 730円 | 717円 | 716円 |
つまり、内税、外税(1円以下は切り捨て）、外税(1円未満は四捨五入）の3通りがありますね。
うまいこと、全部できるような設定で驚きです。
◆兵庫県の高校生 メソ さんからの解答。
1000−270=730
つまり13枚で730円を構成することになる。
全ての硬貨が存在することから、
500+100+50＋10+5+1=666円は
いかなる場合も含まれる。-A
つまり、13-6=7(枚)で730-666=64円を構成すれば良い。-(1)
残りが64円より、100以上の硬貨の使用は不可。
つまり、50円、10円、5円、1円で64円を構成する。-(2)
50円、10円、5円で4円を作ることは、枚数が自然数であることから不可能。
よって4円は1円玉4枚によって支配される。-(3)
(1)(2)(3)をまとめて、
50円玉、10円玉、5円玉、1円玉計3枚で60円を構成する。-(4)
１)50円玉0枚のとき、最高30円なので不可
２)50円玉1枚のとき、
50+5+5が、(4)を満たすので
50円玉1枚、10円玉0枚、5円玉2枚、1円玉0枚で、(4)が成立。-B
３)50円玉2枚のとき、60円を超えるので不可。
A、B、(3)より、
500円玉1枚
100円玉1枚
50円玉2枚
10円玉1枚
5円玉3枚
1円玉5枚
1円玉から500円玉まで1枚ずつ足すと666(獣の数字)になるんやね…しらなんだ…
◆ 問題へもどる
◆ 今週の問題へ