数学の部屋へもどる◆埼玉県の高校生 さわたり さんからの解答
【問題１】
手数 ５手
手順 2〜9→3〜8→4〜7→5〜6→6〜10
【問題２】
手数 ６手
手順 2〜11→3〜10→4〜9→5〜8→6〜7→7〜12
【問題３】
手数 １００手
（手順は問われていないですが）
手順 2〜99→3〜98→…(k+1)〜(100-k)…→49〜52→50〜51→51〜100
（kは自然数で、1≦k≦49）
【おまけ】
黒石、白石がｎ個ずつ並んでいるとする。
●○●○…(n個のペア)…●○●○
まず、両端から２番目の石を裏返す。
●◎●○……●○◎○
（◎＝裏返す石）
すると、両端を除く全ての石が裏返される。
●●○●……○●○○
このとき、両端から２番目の石の色が、隣り合っている両端の石の色と同じであることが分る。
この、両端の石を除く石を、外側から内部に向かって裏返して行く動作を続けると、石がこのような状態になる。
●●…（ｎ個）…●●○○…（ｎ個）…○○
このとき、石を裏返した回数は、n-1回である。
最後に白石を裏返せば、全て黒石になる。
よって、手数は
(n-1)+1=n
で、ｎ手である。
答え 手数 ｎ手
ちなみに手順は、
2〜(2n-1)→3〜(2n-2)…(k+1)〜(2n-k)…(n-1)〜(n+2)→n〜(n+1)→(n+1)〜2n
(k,nは自然数、1≦k≦(n-1))です。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答
【問題１】
5手
2〜6→8〜10→3〜5→4〜9→5〜8
【問題２】
6手
2〜6→8〜12→3〜5→9〜11→4〜10→5〜9
【問題３、４】
連続した白か黒石を一組と考えればいい。
p(n)=最短手数, n=白石組の数
p(2n)=p(n)+n ; n odd
p(2n+1)=p(n+1)+n-1 ; n even
p(2)=2
therefore p(n)=n ; n＞2
100個ずつの場合--> 100手
一回の裏返しでは、白石の組の数が一つ減るかそのまま変わらないですので、n組の場合は少なくとも n 回以上の裏返しが必要です。
◆静岡県 aa さんからの解答
【おまけ】
最後に白い駒を裏返して全体を黒にする必要があるので、黒い駒の間、または列の端っこに白い駒が2つ以上並ぶようにしなければならない。
(1)n=1とすると、配置は●〇。
これは、白い駒を複数並べることができないので、全てを黒にすることは不可能。
(2)n=2の場合は、配置は●〇●〇。
2〜3を裏返して、●●〇〇。
3〜4を裏返して、●●●●。
よって、2回。
(3)n=3の場合は、配置は、●〇●〇●〇。
2〜3を裏返して、●●〇〇●〇
5〜6を裏返して、●●〇〇〇●
3〜5を裏返して、●●●●●●。
よって3回。
(4)n=2k (k=2,3,4,...) の場合は、上記(2)の操作をk回繰り返せば、全てを黒にできる。
上記(2)の操作は、2回であり、
n=2kの場合にはこのパターンがk個あるから、
裏返す回数は、2k回。
すなわち n回。
(5)n=2k+1 (k=2,3,4,...)の場合は、
n= 2(k-1) + 3 と表されるので、
上記(2)の操作を (k-1)回と、(3)の操作を1回繰り返せばよい。
すなわち、裏返す回数は、
2 (k-1) + 3 = 2k +1 。
すなわち、これもn回。
(6)n＞1の時、n回の操作が必要。
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１】
最初の状態
●○●○●○●○●○
左から2〜 3番目を裏返しにする
●●○○●○●○●○
左から3〜 5番目を裏返しにする
●●●●○○●○●○
左から5〜 7番目を裏返しにする
●●●●●●○○●○
左から7〜 9番目を裏返しにする
●●●●●●●●○○
左から9〜10番目を裏返しにする
●●●●●●●●●●
【問題２】
最初の状態
●○●○●○●○●○●○
左から 2〜 3番目を裏返しにする
●●○○●○●○●○●○
左から 3〜 5番目を裏返しにする
●●●●○○●○●○●○
左から 5〜 7番目を裏返しにする
●●●●●●○○●○●○
左から 7〜 9番目を裏返しにする
●●●●●●●●○○●○
左から 9〜11番目を裏返しにする
●●●●●●●●●●○○
左から11〜12番目を裏返しにする
●●●●●●●●●●●●
【問題３及びおまけ】
［全てを黒石にする方法］
n≧2と仮定する。
黒石、白石がn個ずつ並んでいる時、以下に示すn手で全て黒石にする事が出きる。
なお、n=1の時には回答が存在しないので、対象外とする。
最初の状態
●○●○●○●○●○●○……●○●○
左から 2〜 3番目を裏返しにする
●●○○●○●○●○●○……●○●○(1手)
左から 3〜 5番目を裏返しにする
●●●●○○●○●○●○……●○●○(2手)
左から 5〜 7番目を裏返しにする
●●●●●●○○●○●○……●○●○(3手)
左から 7〜 9番目を裏返しにする
●●●●●●●●○○●○……●○●○(4手)
左から 9〜11番目を裏返しにする
●●●●●●●●●●○○……●○●○(5手)
：：
：：
：：
：：
左から2n-3〜2n-1番目を裏返しにする
●●●●●●●●●●●●……●●○○(n-1手)
左から2n-1〜2n番目を裏返しにする
●●●●●●●●●●●●……●●●●(n手)
［n手が最短である事］
n=2 ●○●○
左から1〜2、1〜3、1〜4、2〜3、2〜4、3〜4のどのような選択をしても全てが黒石になることはない。
即ち1手で全てが黒石になることはない。
この場合の最短手は2手である。
(左から2〜3番目を裏返し、左から3〜4番目を裏返す。)
nのときの最短手をn手とする。
n+1のとき、 (状態)
左から1番目 左から2n+2番目 ↓ ↓ ●○●○●○●○●○●○……●○●○からn手で
●●●●●●●●●●●●……●●○○
と出来る。
この方法は数学的帰納法の仮定により、2n個を黒石にする最短手である。
（但し［全てを黒石にする方法］と同じ方法で、
n手目に左から2n-1〜2n+1番目を裏返しにする）
n+1手目では左から2n+1〜2n+2番目を裏返しにすると
n+1手ですべて黒石になる。
よって、n+1個の黒石と白石が並んでいる時は、
最短n+1手で全てが黒石になる。
◆鹿児島県 ともひろ さんからの解答
１２３４５６７８９10‥‥2n（黒・白がｎ個ずつであるから） （左端）●○●○●○●○●○‥‥○（右端）として、裏返す（ひっくり返す）ために指定する駒を
例：
●○●○●○●○●○ ▲−−−▲ ●●○●○●●○●○
【問題１】（５個ずつの場合）
５手
‥‥[3-4][2-3][6-7][9-10][7-9]
‥‥駒の裏返し回数は、１１回
１２３４５６７８９10 ●○●○●○●○●○ ▲▲ ●○○●●○●○●○ ▲▲ ●●●●●○●○●○ ▲▲ ●●●●●●○○●○ ▲▲ ●●●●●●○○○● ▲−▲ ●●●●●●●●●●
【問題２】（６個ずつの場合）
６手
‥‥[3-4][2-3][7-8][6-7][11-12][10-11]
‥‥裏返す駒の回数は１２回
１２３４５６７８９101112 ●○●○●○●○●○●○ ▲▲ ●○○●●○●○●○●○ ▲▲ ●●●●●○●○●○●○ ▲▲ ●●●●●○○●●○●○ ▲▲ ●●●●●●●●●○●○ ▲▲ ●●●●●●●●●○○● ▲▲ ●●●●●●●●●●●●
【問題３】（100個ずつの場合）
100手
‥‥裏返す駒の回数は２００回
●○●○｜●○‥‥‥‥●○｜●○●○ ▲▲ ●○○●｜●○‥‥‥‥●○｜●○●○ ▲▲ ●●●●｜●○‥‥‥‥●○｜●○●○以下、●○２個ずつ（４個）にわけて、同様の操作を繰り返す。
●●●●｜●●‥‥‥‥●●｜●○●○ ▲▲ ●●●●｜●●‥‥‥‥●●｜●○○● ▲▲ ●●●●｜●●‥‥‥‥●●｜●●●●【おまけ】（ｎ個ずつの場合）
以下のように分類する。
1. １個ずつの場合
●○これは「一個のみの裏返しはできない」ことと
2. ２個ずつの場合
●○●○ ▲▲ ●○○● ▲▲ ●●●●となり、『２手』。（４回裏返し）
3. ３個ずつの場合
●○●○●○ ▲▲ ●●○○●○ ▲▲ ●●○○○● ▲−▲ ●●●●●●となり、『３手』。（７回裏返し）
4. ｎが偶数の場合
●○●○｜●○‥‥‥‥●○｜●○●○
と２個ずつ（４個）に分けて、
上記の「2. ２個ずつの場合」の操作を繰り返していく。
２回の操作で２個の○を●に裏返すことができるので、
（２ｎ÷４）×２で 『ｎ手』。
ｎ×２で （２ｎ回裏返し）。
5. ｎが奇数の場合
●○●○｜●○‥‥‥‥●○｜●○●○●○
と２個ずつ（４個）と、最後の３個ずつ（６個）に分けて、
上記の「2. ２個ずつ」の操作を繰り返し、
最後の「3. ３個ずつの場合」の操作を行う。
２回の操作で２個の○を●に裏返し、
３回の操作で３個の○を●に裏返すことができるので、
（（２ｎ−６）÷４）×２＋３で『ｎ手』。
（ｎ−３）×２＋７ で（２ｎ＋１回裏返し）。
したがって、求める答えは「ｎ手」となる。
（証明終わり）
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